Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Calcula

\int_{1}^{3}\bigl|x^{2} - 3x + 2\bigr|\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2), \quad \text{negativo en } (1,2) \text{ y positivo en } (2,3)\;}

\boxed{\;\int_{1}^{3}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|dx = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con un valor absoluto dentro de una integral, el procedimiento es siempre el mismo:

Hallar las raíces del polinomio y quedarse con las que caen dentro del intervalo de integración.
Estudiar el signo en cada subintervalo.
Partir la integral en esos puntos y cambiar el signo donde el polinomio sea negativo.

Aquí las raíces son

1

2

: la primera coincide con el extremo inferior y la segunda parte el intervalo en dos. Entre las raíces la parábola es negativa, y a la derecha de

2

vuelve a ser positiva.

Desarrollo

Raíces del polinomio.

x^{2} - 3x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \;\Longrightarrow\; x = 1 \;\text{ o }\; x = 2

x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Signo en $[1, 3]$ . Es una parábola con las ramas hacia arriba, así que es negativa entre las raíces:

En $(1, 2)$ : $\;(x-1) > 0$ y $(x-2) < 0$ , luego el producto es negativo.
En $(2, 3)$ : los dos factores son positivos, luego es positivo.

\bigl|x^{2}-3x+2\bigr| = \begin{cases} -\bigl(x^{2}-3x+2\bigr) & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\[4pt] \phantom{-}x^{2}-3x+2 & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \end{cases}

Primitiva del polinomio.

G(x) = \int\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x

Valores en los tres puntos.

G(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}

G(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}

G(3) = 9 - \frac{27}{2} + 6 = 15 - \frac{27}{2} = \frac{3}{2}

Los dos tramos.

\int_{1}^{2}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|dx = -\Bigl[G(2) - G(1)\Bigr] = -\left(\frac{2}{3} - \frac{5}{6}\right) = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}

\int_{2}^{3}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|dx = G(3) - G(2) = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}

Resultado.

\int_{1}^{3}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|dx = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No se puede integrar directamente con el valor absoluto puesto: hay que abrirlo por tramos. Si integras $x^{2}-3x+2$ de $1$ a $3$ sin más obtienes $\frac{2}{3}$ , que es la integral con signo, no la del valor absoluto.

Comprueba siempre qué raíces caen dentro del intervalo. Aquí $x=1$ es justo el extremo inferior (no parte nada) y $x=2$ sí está en el interior. Si el intervalo hubiera sido $[0,3]$ , habría tres tramos y no dos.