Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

tal que

f''(x) = -2\,\mathrm{sen}\,(2x), \qquad f(0) = 1 \quad \text{y} \quad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \int -2\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = \cos(2x) + C\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2} + Cx + D; \qquad f(0)=1 \Rightarrow D = 1; \qquad f\!\left(\tfrac\pi2\right)=0 \Rightarrow C = -\frac{2}{\pi}\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2} - \frac{2}{\pi}\,x + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de primitivas encadenadas: se integra dos veces y aparecen dos constantes, que las dos condiciones determinan.

f'' \;\xrightarrow{\ \int\ }\; f' \ (+\,C) \;\xrightarrow{\ \int\ }\; f \ (+\,D)

Cuidado con la regla de la cadena al integrar:

\int \mathrm{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)

, no

-\cos(2x)

. Los factores

2

son aquí el único punto delicado.

Desarrollo

Primera integración.

f'(x) = \int -2\,\mathrm{sen}(2x)\,dx = -2\cdot\left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) + C = \cos(2x) + C

Segunda integración.

f(x) = \int\bigl[\cos(2x)+C\bigr]dx = \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2} + C\,x + D

Primera condición: $f(0) = 1$ .

\frac{\mathrm{sen}\,0}{2} + C\cdot 0 + D = 1 \;\Longrightarrow\; D = 1

Segunda condición: $f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ . Como

\mathrm{sen}\,\pi = 0

\frac{\mathrm{sen}\,\pi}{2} + C\cdot\frac{\pi}{2} + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{C\pi}{2} = -1 \;\Longrightarrow\; C = -\frac{2}{\pi}

La función.

f(x) = \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2} - \frac{2}{\pi}\,x + 1

Comprobación.

f'(x) = \cos(2x) - \frac{2}{\pi} \qquad f''(x) = -2\,\mathrm{sen}(2x) \quad \checkmark

f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 \;\checkmark \qquad f\!\left(\frac\pi2\right) = 0 - \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} + 1 = -1+1 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos integraciones, dos constantes. Si te olvidas la $C$ de la primera integración, al llegar a la segunda condición te falta un grado de libertad y el sistema queda incompatible.

La regla de la cadena también actúa al integrar: cada $\mathrm{sen}(2x)$ o $\cos(2x)$ trae un factor $\frac12$ . Compruébalo derivando el resultado, que es inmediato.

Aplica las condiciones en el orden que más simplifique: aquí $f(0)=1$ da $D$ directamente porque anula el término en $C$ , y solo después conviene usar la otra.