Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de

12\,800

^{2}

dividido en

3

parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo.

Solar rectangular dividido por dos vallas interiores paralelas en tres parcelas rectangulares iguales

Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x\,y = 12\,800; \qquad V = 2x + 2y + 2y = 2x + 4y\;}

\boxed{\;V(x) = 2x + \frac{51\,200}{x}; \qquad V'(x) = 2 - \frac{51\,200}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 160\;}

\boxed{\;\text{Solar } 160\times 80 \ \text{m}; \quad \text{cada parcela } \tfrac{160}{3}\times 80 \ \text{m}; \quad V_{\min} = 640 \ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con restricción de área. Lo delicado es contar bien la valla:

El perímetro del solar: $2x + 2y$ , si $x$ es la base y $y$ la altura.
Las dos separaciones interiores, que son verticales y miden $y$ cada una: $2y$ más.

Total:

\;V = 2x + 4y

.

Con la restricción

x\,y = 12\,800

se despeja

y

, se sustituye y se minimiza en una sola variable.

Desarrollo

Variables y restricción. Sea

x

la base del solar (el lado que queda dividido) e

y

su altura:

x\,y = 12\,800 \;\Longrightarrow\; y = \frac{12\,800}{x}

La valla total. Perímetro más las dos separaciones interiores (de longitud

y

cada una):

V = \underbrace{2x + 2y}_{\text{perímetro}} + \underbrace{2y}_{\text{separaciones}} = 2x + 4y

En una sola variable.

V(x) = 2x + 4\cdot\frac{12\,800}{x} = 2x + \frac{51\,200}{x}, \qquad x>0

Derivada y punto crítico.

V'(x) = 2 - \frac{51\,200}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 25\,600 \;\Longrightarrow\; x = 160 \ \text{m}

Es mínimo.

V''(x) = \frac{102\,400}{x^{3}} > 0 \quad \text{para } x>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

Las dimensiones.

y = \frac{12\,800}{160} = 80 \ \text{m}

\textbf{Solar: } 160 \times 80 \ \text{m}

\textbf{Cada parcela: } \frac{160}{3} \times 80 \ \text{m} \approx 53{,}33 \times 80 \ \text{m}

Valla mínima.

V = 2\cdot 160 + 4\cdot 80 = 320 + 320 = 640 \ \text{m}

(Detalle interesante: en el óptimo, la valla del perímetro horizontal y la vertical —incluidas las separaciones— miden lo mismo, $320$ m cada una. Es el patrón habitual en este tipo de problemas.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuenta bien las vallas: además del perímetro hay dos separaciones interiores, y son paralelas al lado $y$ (miden $y$ cada una), como se ve en el dibujo. El total es $2x+4y$ , no $2x+2y$ ni $2x+6y$ .

Las parcelas son iguales, así que cada una mide $\tfrac{x}{3}$ de base y $y$ de altura. El enunciado pide las dimensiones del solar y de cada parcela: hay que dar las dos cosas.

Que $\tfrac{160}{3}$ no sea entero no es un problema: son metros, y el reparto en tres partes iguales no tiene por qué dar números redondos.