Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 2x + 1}

para

x \neq 1

. Halla una primitiva de

f

que pase por el punto

(2, 6)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{2}}\;}

\boxed{\;F(x) = \frac{x^{2}}{2} + 2x + 3\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional con el numerador de grado mayor que el denominador, así que el primer paso es obligatorio: dividir. Sin esa división, las fracciones simples no se pueden aplicar.

El denominador es

x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}

: una raíz doble. Eso cambia la forma de la descomposición, que lleva dos términos con potencias crecientes:

\frac{Ax + B}{(x-1)^{2}} = \frac{A'}{x-1} + \frac{B'}{(x-1)^{2}}

Aquí el atajo más limpio es el cambio

u = x - 1

, que evita plantear e identificar coeficientes.

Y al final, la constante se ajusta con el punto

(2,6)

: fíjate en que en

x = 2

se cumple

\ln|2-1| = \ln 1 = 0

, así que las cuentas salen redondas.

Desarrollo

División de polinomios. Dividiendo

x^{3}

entre

x^{2}-2x+1

x^{3} = \bigl(x^{2}-2x+1\bigr)(x + 2) + (3x - 2)

(Comprobación: $(x^{2}-2x+1)(x+2) = x^{3} + 2x^{2} - 2x^{2} - 4x + x + 2 = x^{3} - 3x + 2$ , y sumando $3x-2$ queda $x^{3}$ .)

f(x) = x + 2 + \frac{3x - 2}{(x-1)^{2}}

Descomposición del resto. Con

u = x - 1

(es decir,

x = u + 1

3x - 2 = 3(u+1) - 2 = 3u + 1 \;\Longrightarrow\; \frac{3x-2}{(x-1)^{2}} = \frac{3u + 1}{u^{2}} = \frac{3}{u} + \frac{1}{u^{2}}

f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{2}}

Integración.

\int f(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 2x + 3\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C

(El último término: $\int (x-1)^{-2}dx = \dfrac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x-1}$ .)

Constante con el punto $(2,6)$ .

F(2) = \frac{4}{2} + 4 + 3\ln 1 - \frac{1}{1} + C = 2 + 4 + 0 - 1 + C = 5 + C

5 + C = 6 \;\Longrightarrow\; C = 1

F(x) = \frac{x^{2}}{2} + 2x + 3\ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + 1

Comprobación. Derivando:

F'(x) = x + 2 + \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{2}} = \frac{(x+2)(x-1)^{2} + 3(x-1) + 1}{(x-1)^{2}}

y el numerador es

(x+2)(x^{2}-2x+1) + 3x - 2 = x^{3} - 3x + 2 + 3x - 2 = x^{3}

, luego

F' = f

. Correcto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No intentes descomponer en fracciones simples antes de dividir. Con el numerador de grado $3$ y el denominador de grado $2$ , la descomposición no existe tal cual: primero se extrae la parte polinómica y solo el resto se descompone.

Y ojo con la raíz doble: la descomposición correcta lleva $\dfrac{A}{x-1}$ y $\dfrac{B}{(x-1)^{2}}$ . Si solo escribes un término, te falta información y el sistema no tiene solución. El cambio $u = x-1$ te ahorra ese planteamiento entero.