Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{\bigl(x^{2}-x\bigr)(x-1)}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl(x^{2}-x\bigr)(x-1) = x\,(x-1)^{2}\;}

\boxed{\;\frac{1}{x(x-1)^{2}} = \frac1x-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}\;}

\boxed{\;\int = \ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}\;}

\boxed{\;I = \left(-\ln2+\tfrac12\right)-\left(\ln\tfrac23+\tfrac13\right) = \ln\frac34+\frac16 \approx -0{,}121\;}

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Estrategia

Lo primero es factorizar el denominador completo:

\bigl(x^{2}-x\bigr)(x-1) = x\,(x-1)\,(x-1) = x\,(x-1)^{2}

Aparece una raíz doble en

x=1

, así que la descomposición en fracciones simples necesita tres términos:

\frac{1}{x\,(x-1)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}

(El intervalo $[-2,-1]$ no contiene ni $0$ ni $1$ : la integral es propia.)

Desarrollo

Factorización y fracciones simples.

1 = A\,(x-1)^{2}+B\,x\,(x-1)+C\,x

Con $x = 0$ :

\;1 = A

Con $x = 1$ :

\;1 = C

Con $x = 2$ :

\;1 = A\cdot1+B\cdot2\cdot1+C\cdot2 = 1+2B+2 \;\Longrightarrow\; B = -1

\frac{1}{x\,(x-1)^{2}} = \frac1x-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}

La primitiva.

\int\left[\frac1x-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}\right]dx = \ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}

= \ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}

(Recuerda: $\int(x-1)^{-2}dx = -\dfrac{1}{x-1}$ .)

Regla de Barrow.

I = \left[\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}\right]_{-2}^{-1}

En $x = -1$ :

\ln\left|\frac{-1}{-2}\right|-\frac{1}{-2} = \ln\frac12+\frac12 = -\ln2+\frac12

En $x = -2$ :

\ln\left|\frac{-2}{-3}\right|-\frac{1}{-3} = \ln\frac23+\frac13

Restando:

I = \left(-\ln2+\frac12\right)-\left(\ln\frac23+\frac13\right) = -\ln2-\ln2+\ln3+\frac12-\frac13

= \ln3-2\ln2+\frac16 = \ln\frac34+\frac16

I = \ln\frac34+\frac16 \approx -0{,}2877+0{,}1667 = -0{,}121

(El resultado es negativo: en $[-2,-1]$ el integrando es negativo, ya que $x<0$ y $(x-1)^{2}>0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Factoriza el denominador completo antes de nada: aquí $(x^{2}-x)(x-1) = x(x-1)^{2}$ , con una raíz doble. Tratarlo como tres factores distintos lleva a un sistema sin solución.

Con raíz doble hacen falta dos fracciones para ese factor: $\frac{B}{x-1}$ y $\frac{C}{(x-1)^{2}}$ . La segunda no da logaritmo, sino una potencia.

Que la integral salga negativa es correcto: en $[-2,-1]$ el integrando es negativo. El enunciado pide la integral, no el área.