Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to0}\frac{a\cdot\mathrm{sen}(x)-x\,e^{x}}{x^{2}}

es finito, calcula el valor de

a

y el de dicho límite.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{L'H 1: } \lim_{x\to0}\frac{a\cos x-e^{x}(1+x)}{2x}; \quad \text{denominador}\to0 \Rightarrow a-1 = 0\;}

\boxed{\;a = 1\;}

\boxed{\;\text{L'H 2: } \lim_{x\to0}\frac{-\mathrm{sen}\,x-e^{x}(2+x)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador es un infinitésimo de orden $2$ , y el numerador se anula en

x=0

para cualquier

a

. Para que el límite sea finito, el numerador no puede tener término de grado 1.

Con L'Hôpital el razonamiento es el habitual: tras la primera derivada, si el denominador sigue tendiendo a

0

, el numerador está obligado a hacerlo también, y de ahí sale

a

.

Los desarrollos de Taylor lo confirman en dos líneas:

\mathrm{sen}\,x = x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots \qquad x\,e^{x} = x+x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+\cdots

Desarrollo

Comprobación inicial. En

x=0

el numerador vale

a\cdot0-0 = 0

: indeterminación

\frac00

.

Primera aplicación de L'Hôpital.

\lim_{x\to0}\frac{a\cos x-\bigl(e^{x}+x\,e^{x}\bigr)}{2x}

(La derivada de $x\,e^{x}$ es $e^{x}+x\,e^{x} = e^{x}(1+x)$ .)

El denominador tiende a $0$ ; para que el límite sea finito, el numerador también:

a\cdot 1-\bigl(1+0\bigr) = a-1 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Segunda aplicación. Con

a=1

seguimos en

\frac00

\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{x}(1+x)}{2x} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to0}\frac{-\mathrm{sen}\,x-\Bigl[e^{x}(1+x)+e^{x}\Bigr]}{2}

Sustituyendo $x=0$ :

\frac{0-\bigl[1+1\bigr]}{2} = \frac{-2}{2} = -1

a = 1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{\mathrm{sen}\,x-x\,e^{x}}{x^{2}} = -1

Comprobación con desarrollos de Taylor.

a\,\mathrm{sen}\,x-x\,e^{x} = a\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right)-\left(x+x^{2}+\cdots\right) = (a-1)\,x-x^{2}+\cdots

Para que el límite sea finito,

a = 1

; y entonces

\frac{-x^{2}+\cdots}{x^{2}} \longrightarrow -1 \quad \checkmark

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Consejo

La condición decisiva es que el límite sea finito: tras la primera derivada el denominador vale $0$ , así que el numerador está obligado a valer $0$ . De ahí sale $a=1$ sin usar todavía el valor del límite.

La derivada de $x\,e^{x}$ es $e^{x}(1+x)$ , no $e^{x}$ . Y al derivarla otra vez sale $e^{x}(2+x)$ . Es el punto donde más se falla.

Con Taylor, $x\,e^{x} = x+x^{2}+\cdots$ y $\mathrm{sen}\,x = x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots$ : el término de grado $1$ se cancela con $a=1$ y el de grado $2$ da directamente el $-1$ . Úsalo como comprobación.