Opción A · Ejercicio 2. Sean f y g las funciones definidas por f(x) = 2-x y g(x) = \dfrac{2}{x+1} para x\neq-1. a) [0,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g. b) [0,5 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. c) [1,5 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f

g

las funciones definidas por

f(x) = 2-x

g(x) = \dfrac{2}{x+1}

para

x\neq-1

.

a) [0,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre las gráficas de

f

g

.

b) [0,5 puntos] Esboza las gráficas de

f

g

sobre los mismos ejes.

c) [1,5 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } (2-x)(x+1) = 2 \;\Longrightarrow\; x(1-x) = 0: \quad (0,2) \text{ y } (1,1)\;}

\boxed{\;\text{En } (0,1) \text{ la recta va por encima} \ \bigl(f(\tfrac12) = 1{,}5 > g(\tfrac12) = \tfrac43\bigr)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1}\left[(2-x)-\frac{2}{x+1}\right]dx = \left[2x-\frac{x^{2}}{2}-2\ln(x+1)\right]_{0}^{1}\;}

\boxed{\;A = \frac32-2\ln 2 \approx 0{,}11 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los cortes salen de una ecuación con denominador: se multiplica por

x+1

(que no es cero en el dominio) y queda una cuadrática.

Para el área hay que decidir quién va arriba en el intervalo entre los cortes, y luego integrar la diferencia. La primitiva de

\frac{2}{x+1}

2\ln\lvert x+1\rvert

.

(Comprueba que el punto conflictivo $x = -1$ no cae dentro del intervalo de integración; si cayera, la integral sería impropia.)

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

2-x = \frac{2}{x+1} \;\Longrightarrow\; (2-x)(x+1) = 2

2x+2-x^{2}-x = 2 \;\Longrightarrow\; -x^{2}+x = 0 \;\Longrightarrow\; x\,(1-x) = 0

x = 0 \quad \text{o} \quad x = 1

\text{Cortes: } (0,\,2) \qquad \text{y} \qquad (1,\,1)

(Ninguno es $x=-1$ : los dos están en el dominio $\checkmark$ )

b) Las gráficas.

f

es una recta decreciente que corta a los ejes en

(2,0)

(0,2)

g

es una hipérbola con asíntota vertical

x = -1

y asíntota horizontal

y = 0

; en

x>-1

es decreciente y positiva. Se cortan en los dos puntos hallados, encerrando un recinto estrecho entre

x=0

x=1

.

c) ¿Quién va arriba? En

x = \dfrac12

f\!\left(\tfrac12\right) = \frac32 = 1{,}5 \qquad g\!\left(\tfrac12\right) = \frac{2}{3/2} = \frac43 \approx 1{,}33

La recta está por encima.

El área.

A = \int_{0}^{1}\left[(2-x)-\frac{2}{x+1}\right]dx = \left[2x-\frac{x^{2}}{2}-2\ln\lvert x+1\rvert\right]_{0}^{1}

Evaluando.

\text{En } x=1: \quad 2-\frac12-2\ln 2 = \frac32-2\ln 2

\text{En } x=0: \quad 0-0-2\ln 1 = 0

A = \frac{3}{2}-2\ln 2 \approx 1{,}5-1{,}386 = 0{,}114 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Al quitar el denominador, comprueba que $x=-1$ no es solución ni cae en el intervalo: si lo hiciera, la integral sería impropia y el planteamiento cambiaría por completo.

Evalúa en un punto interior para decidir quién va arriba. La diferencia aquí es pequeña ( $1{,}5$ frente a $1{,}33$ ), así que no se puede decidir "a ojo" del dibujo.

$\int\frac{2\,dx}{x+1} = 2\ln\lvert x+1\rvert$ , con el $2$ fuera del logaritmo. Escribir $\ln\lvert 2x+2\rvert$ es un error que cambia el resultado.