Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula:

\int\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x-2}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{División: } \frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x-2} = x+\frac{2x}{x^{2}+x-2}\;}

\boxed{\;x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1); \quad \frac{2x}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}\;}

\boxed{\;2x = A(x-1)+B(x+2): \ x=1 \Rightarrow B = \tfrac23; \ x=-2 \Rightarrow A = \tfrac43\;}

\boxed{\;\int = \frac{x^{2}}{2}+\frac43\ln|x+2|+\frac23\ln|x-1|+C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional impropia (grado del numerador

\geq

grado del denominador), así que hay que hacer dos cosas en orden:

Dividir los polinomios para separar la parte entera:

\frac{N}{D} = \text{cociente}+\frac{\text{resto}}{D}

Descomponer el resto en fracciones simples, factorizando $x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1)$ .

Saltarse la división es el error habitual: sin ella, las fracciones simples no funcionan.

Desarrollo

1) La división.

x^{3}+x^{2} \;:\; \bigl(x^{2}+x-2\bigr)

Multiplicando el divisor por

x

\;x^{3}+x^{2}-2x

. Restando:

\bigl(x^{3}+x^{2}\bigr)-\bigl(x^{3}+x^{2}-2x\bigr) = 2x

\text{cociente} = x, \qquad \text{resto} = 2x

\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x-2} = x+\frac{2x}{x^{2}+x-2}

2) Fracciones simples. Factorizamos el denominador:

x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1)

\frac{2x}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}

2x = A\,(x-1)+B\,(x+2)

Con $x = 1$ :

\;2 = 3B \;\Longrightarrow\; B = \dfrac23

Con $x = -2$ :

\;-4 = -3A \;\Longrightarrow\; A = \dfrac43

\frac{2x}{x^{2}+x-2} = \frac{4/3}{x+2}+\frac{2/3}{x-1}

3) Integramos.

\int\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x-2}\,dx = \int x\,dx+\frac43\int\frac{dx}{x+2}+\frac23\int\frac{dx}{x-1}

= \frac{x^{2}}{2}+\frac43\ln|x+2|+\frac23\ln|x-1|+C

Comprobación (derivando).

x+\frac43\cdot\frac{1}{x+2}+\frac23\cdot\frac{1}{x-1} = x+\frac{\tfrac43(x-1)+\tfrac23(x+2)}{(x+2)(x-1)} = x+\frac{\tfrac43x-\tfrac43+\tfrac23x+\tfrac43}{x^{2}+x-2}

= x+\frac{2x}{x^{2}+x-2} = \frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x-2} \;\checkmark

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Consejo

Si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, divide primero. Es el paso que más se olvida y sin él la descomposición en fracciones simples no existe.

Para hallar $A$ y $B$ , sustituye las raíces del denominador ( $x=1$ y $x=-2$ ): cada una anula un término y da la otra constante de golpe, sin resolver ningún sistema.

No olvides los valores absolutos en los logaritmos ni la constante $C$ . Y comprueba derivando: en las racionales es donde más se cuelan errores de signo.