Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sea la función

f : [-2, 2] \longrightarrow \mathbb{R}

, definida por

f(x) = x^{3} - 2x + 5

.

a) [1,5 puntos] Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos

(-2, f(-2))

(2, f(2))

.

b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de inflexión.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Tangente: } y = -2x + 5; \qquad \text{Normal: } y = \tfrac{1}{2}x + 5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el teorema del valor medio de Lagrange disfrazado: se pide el punto (o puntos) donde la tangente es paralela a la cuerda que une los extremos del intervalo. Como

f

es un polinomio, es continua en

[-2,2]

y derivable en

(-2,2)

, así que el teorema garantiza que existe al menos una solución; nosotros la calculamos resolviendo

f'(x) = m

.

En b) el punto de inflexión sale de

f''(x) = 0

, y a partir de ahí es rutina: la tangente lleva pendiente

f'(x_{0})

y la normal, la opuesta de la inversa,

-1/f'(x_{0})

Desarrollo

a) Pendiente de la cuerda.

f(-2) = (-2)^{3} - 2(-2) + 5 = -8 + 4 + 5 = 1, \qquad f(2) = 8 - 4 + 5 = 9

m = \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{9 - 1}{4} = 2

Pendiente de la tangente.

f'(x) = 3x^{2} - 2

. Igualamos:

3x^{2} - 2 = 2 \;\Longrightarrow\; 3x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x^{2} = \frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}

Numéricamente,

x \approx \pm 1{,}1547

. Los dos valores pertenecen a $[-2,2]$ , así que hay dos puntos válidos:

x_{1} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15, \qquad x_{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx -1{,}15

b) Punto de inflexión.

f''(x) = 6x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

f''

cambia de signo al pasar por

0

(negativa a la izquierda, positiva a la derecha), luego es efectivamente un punto de inflexión. Su ordenada es

f(0) = 5

, es decir, el punto

(0, 5)

.

Recta tangente. Pendiente

f'(0) = 3\cdot 0 - 2 = -2

y - 5 = -2(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 5

Recta normal. Pendiente

-\dfrac{1}{f'(0)} = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}

y - 5 = \frac{1}{2}(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{2}x + 5

(Comprobación rápida: las dos rectas pasan por $(0,5)$ y sus pendientes cumplen $(-2)\cdot\frac{1}{2} = -1$ , como debe ser en dos rectas perpendiculares.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) salen dos soluciones y las dos están dentro del intervalo: no te quedes con la positiva. Y comprueba siempre que las abscisas obtenidas pertenecen a $[-2,2]$ ; si alguna se saliera, habría que descartarla.

El error más caro de b) es confundir la pendiente de la normal. No es $-f'(x_{0})$ ni $1/f'(x_{0})$ : es $-1/f'(x_{0})$ , la opuesta de la inversa. Un truco para no fallar: el producto de las dos pendientes tiene que dar $-1$ .