Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje

OX

, la recta

y = x

, la gráfica

y = \dfrac{1}{x^{3}}

y la recta

x = 3

.

a) [0,5 puntos] Haz un esbozo del recinto descrito.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto.

c) [0,5 puntos] Si consideras la gráfica

y = \dfrac{1}{x}

en lugar de

y = \dfrac{1}{x^{3}}

, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o será menor que la del recinto inicial? ¿Por qué?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad x = \tfrac{1}{x^{3}} \Rightarrow x^{4} = 1 \Rightarrow \text{corte en } (1,1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{3}\frac{dx}{x^{3}} = \frac12 + \frac49 = \frac{17}{18} \approx 0{,}94\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad \frac1x > \frac{1}{x^{3}} \text{ si } x > 1 \;\Longrightarrow\; \textbf{el área será mayor}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto tiene dos techos distintos: la recta

y=x

a la izquierda y la curva

y = 1/x^{3}

a la derecha. El punto donde se relevan es su corte, que hay que calcular.

Por eso la integral se parte en dos, cada tramo con su función.

En c) no hay que calcular nada nuevo: basta comparar

\dfrac{1}{x}

con

\dfrac{1}{x^{3}}

en el tramo relevante y razonar.

Desarrollo

a) El corte entre la recta y la curva.

x = \frac{1}{x^{3}} \;\Longrightarrow\; x^{4} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad (\text{la raíz positiva})

El punto es

(1,\, 1)

.

El esbozo. En el primer cuadrante, la recta

y=x

sube desde el origen; la curva

y = 1/x^{3}

baja y en

x=3

vale

\tfrac{1}{27}

. Se cruzan en

(1,1)

.

El recinto está limitado abajo por el eje

OX

, arriba por la recta hasta

x=1

y por la curva desde

x=1

, y a la derecha por la vertical

x=3

. Es una especie de "tienda de campaña" con el pico en

(1,1)

.

b) Área, partiendo en

x = 1

:

Tramo $[0,1]$ , bajo la recta:

\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}

Tramo $[1,3]$ , bajo la curva:

\int_{1}^{3}\frac{dx}{x^{3}} = \int_{1}^{3} x^{-3}dx = \left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{3} = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}

Total.

A = \frac12 + \frac49 = \frac{9 + 8}{18} = \frac{17}{18} \approx 0{,}94 \ \text{unidades cuadradas}

c) Comparación con $y = 1/x$ . El corte con

y = x

sigue siendo el mismo:

x = \frac1x \;\Longrightarrow\; x^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1

así que el primer tramo no cambia. En el segundo, para

x > 1

se cumple

x^{3} > x

y por tanto

\frac{1}{x} > \frac{1}{x^{3}} \qquad \text{para todo } x\in(1,3)

La nueva curva queda por encima de la anterior en todo el tramo, luego el recinto es mayor.

\textbf{El área será mayor.}

(Cuantitativamente: $\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{dx}{x} = \ln 3 \approx 1{,}10$ frente a $\tfrac49 \approx 0{,}44$ , y el área total pasa de $\tfrac{17}{18} \approx 0{,}94$ a $\tfrac12 + \ln 3 \approx 1{,}60$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El recinto cambia de techo en $x=1$ : hay que partir la integral ahí. Integrar de $0$ a $3$ con una sola función da un resultado sin sentido (y con $1/x^{3}$ ni siquiera converge, porque tiene una asíntota en $x=0$ ).

$\int x^{-3}dx = -\frac{1}{2x^{2}}$ : aplica la regla de la potencia con exponente $-3$ , no un logaritmo. El logaritmo solo aparece con exponente $-1$ , que es justo el caso del apartado c).

En c) se pide razonar, no calcular: basta observar que para $x>1$ es $x^{3} > x$ y por tanto $\frac{1}{x} > \frac{1}{x^{3}}$ . Con esa comparación la respuesta está justificada sin hacer ninguna integral.