Geometría

Los productos en coordenadas

Con $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$, $\vec v = (v_1,v_2,v_3)$ y $\vec w = (w_1,w_2,w_3)$, las tres herramientas se calculan así:

Dependencia lineal: cuántas direcciones distintas hay

Unos vectores son linealmente dependientes si alguno se puede escribir como combinación lineal de los demás (por ejemplo, $\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v$), y linealmente independientes si ninguno se puede. En el fondo es una cuestión de rango: el de la matriz que forman sus coordenadas dice cuántas direcciones distintas aportan de verdad. Los productos lo deciden sin calcular el rango:

Tres vectores independientes forman una base: cualquier otro vector se escribe de forma única como combinación lineal de ellos.

Errores frecuentes

• Usar el producto escalar para paralelismo o el vectorial para perpendicularidad.
• Errores de signo en el determinante del producto vectorial (la componente $j$ va con signo cambiado).
• Olvidar el $\tfrac12$ del área del triángulo o el $\tfrac16$ del volumen del tetraedro.
• Calcular $\vec{AB}$ restando al revés (extremo menos origen, siempre).

Las ecuaciones de la recta y del plano

Con un punto $P(p_1,p_2,p_3)$ y un director $\vec u = (u_1,u_2,u_3)$, la recta se escribe de cuatro formas equivalentes:

Si una componente del director es 0, en la continua se deja el 0 en el denominador: es un convenio que indica que esa coordenada es constante (su numerador también vale 0).

Un plano necesita un punto y dos direcciones independientes $\vec u$ y $\vec v$ (paramétricas: $(x,y,z) = (p_1,p_2,p_3) + \lambda\,\vec u + \mu\,\vec v$), o un punto y el normal $\vec n = (A,B,C)$ (punto-normal: $A(x - p_1) + B(y - p_2) + C(z - p_3) = 0$, que al operar da la general $Ax + By + Cz + D = 0$). Para pasar de paramétricas a general, el normal es $\vec n = \vec u \times \vec v$.

Recta y plano: el algoritmo de dos preguntas

Con dos rectas el guion es parecido: si los directores son proporcionales, son paralelas o coincidentes (mira un punto); si no lo son, o se cortan o se cruzan — y lo decide el determinante de los dos directores junto al vector que une un punto de cada una (nulo: se cortan; no nulo: se cruzan).

La perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Si $r$ y $s$ se cruzan, hay una única recta que corta a las dos y es perpendicular a ambas: la perpendicular común. Su dirección es $\vec u \times \vec v$, pero eso no basta: falta un punto, y en general no es el de ninguna de las rectas dadas. El método de los puntos genéricos da a la vez los dos pies:

1. Escribe un punto genérico de cada recta con sus paramétricas: $P \in r$ en función de $\lambda$ y $Q \in s$ en función de $\mu$ (parámetros distintos).
2. Impón que $\vec{PQ}$ sea perpendicular a los dos directores: $\vec{PQ}\cdot\vec u = 0$ y $\vec{PQ}\cdot\vec v = 0$. Es un sistema de dos ecuaciones en $\lambda$ y $\mu$.
3. Con la solución, la perpendicular común es la recta que pasa por $P$ y $Q$. De regalo, $|\vec{PQ}|$ es la distancia entre $r$ y $s$ (apartado 3).

Otra vía: cortar el plano que contiene a $r$ y a la dirección $\vec u \times \vec v$ con el plano que contiene a $s$ y a esa misma dirección.

Dos planos y el haz de planos

Dos planos $\pi:\ Ax + By + Cz + D = 0$ y $\pi':\ A'x + B'y + C'z + D' = 0$ se comparan como un sistema de dos ecuaciones: con el rango de la matriz de coeficientes $M$ (sus filas son los dos normales) y el de la ampliada $M^*$ (con los términos independientes).

Si además $\vec n\cdot\vec n' = 0$, son secantes y perpendiculares.

Un haz de planos es una familia de planos que depende de un parámetro. El haz de planos secantes de arista $r$ reúne todos los planos que contienen a la recta $r$: si $r$ viene en implícitas como corte de $\pi$ y $\pi'$, son $Ax + By + Cz + D + \lambda\,(A'x + B'y + C'z + D') = 0$. El haz de planos paralelos a $\pi$ lo forman los planos $Ax + By + Cz + k = 0$: mismo normal y $k$ libre.

Ángulos entre rectas y planos

Entre rectas y planos el ángulo se toma siempre entre 0° y 90° (de ahí el valor absoluto) y se calcula con los vectores que los describen: directores $\vec u$, $\vec v$ y normales $\vec n$, $\vec n'$.

Por ejemplo, la recta de director $\vec u = (1,0,1)$ y el plano $z = 0$, de normal $\vec n = (0,0,1)$: $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{1}{\sqrt 2\cdot 1}$, así que $\alpha = 45^\circ$.

Míralo

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Confundir el vector director de una recta con el normal de un plano al plantear paralelismos y perpendicularidades.
• Concluir «paralelos» con $\vec u\cdot\vec n = 0$ sin comprobar el punto (podría estar contenida).
• Olvidar el caso «se cruzan» al clasificar dos rectas.
• Errores al pasar de paramétricas a continua o a implícitas (y arrastrar un director mal leído).
• Leer el normal de un plano dado en paramétricas sin pasarlo antes a la ecuación general.

De esa fórmula cuelgan dos más, por reducción: la distancia entre planos paralelos (toma un punto de uno y aplícala al otro) y la de una recta paralela a un plano (toma un punto de la recta). Si no son paralelos, la distancia es cero — por eso hay que mirar la posición primero.

Distancia entre dos puntos y de un punto a una recta

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une:

Para un punto $P$ y una recta $r$ que pasa por $A$ con director $\vec u$, el paralelogramo de lados $\vec{AP}$ y $\vec u$ tiene por área $|\vec{AP}\times\vec u|$ y por base $|\vec u|$; su altura es la distancia buscada:

Por ejemplo, de $P(0,0,1)$ a la recta $r:\ (x,y,z) = (1,0,0) + t\,(0,1,0)$: $\vec{AP} = (-1,0,1)$ y $\vec{AP}\times\vec u = (-1,0,-1)$; como $|\vec u| = 1$, $d(P,r) = \sqrt 2\ \text{u}$. Una recta no tiene ecuación general, así que aquí la fórmula del plano no sirve.

Distancia entre dos rectas

Primero la posición relativa (apartado 2), porque cada caso tiene su cálculo:

• Se cortan o coinciden: la distancia es 0.
• Paralelas: se toma un punto $P$ de $r$ y se calcula su distancia a la otra, $d(r,s) = d(P,s)$.
• Se cruzan: con $A \in r$, $B \in s$ y directores $\vec u$ y $\vec v$, el paralelepípedo de aristas $\vec{AB}$, $\vec u$ y $\vec v$ tiene por altura la distancia (volumen entre área de la base):

Proyección ortogonal y plano mediador

La proyección ortogonal de un punto $P$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$:

• Sobre un plano $\pi$: la recta que pasa por $P$ con director $\vec n$; su corte con $\pi$ es la proyección $P'$.
• Sobre una recta $r$: el plano que pasa por $P$ con normal $\vec u$; su corte con $r$ es $P'$.
• De una recta $r$ sobre un plano $\pi$: el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ (normal $\vec u\times\vec n$); su corte con $\pi$ es la recta proyección. También vale proyectar dos puntos de $r$. Si $r$ es perpendicular a $\pi$, la proyección es un solo punto.

$P'$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico, que sale de $P'' = 2P' - P$; y $|\vec{PP'}|$ es la distancia de $P$ al plano o a la recta.

El plano mediador del segmento $AB$ es el lugar de los puntos que equidistan de $A$ y de $B$: el plano perpendicular a $\vec{AB}$ por su punto medio $M$. Se obtiene con normal $\vec{AB}$ y punto $M$, o igualando $d(X,A)^2 = d(X,B)^2$ con $X(x,y,z)$: los términos de segundo grado se cancelan y queda la ecuación de un plano.

Áreas y volúmenes con los productos

Las cuatro fórmulas salen de dos hechos del apartado 1: $|\vec u\times\vec v|$ es el área del paralelogramo de lados $\vec u$ y $\vec v$, y $|[\vec u,\vec v,\vec w]|$ es el volumen del paralelepípedo de aristas $\vec u$, $\vec v$ y $\vec w$.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Aplicar la fórmula de distancia sin comprobar el paralelismo (si se cortan, la distancia es 0 y la fórmula no aplica).
• Olvidar el valor absoluto del numerador o el módulo del normal en el denominador.
• Perder el $\tfrac12$ del área o el $\tfrac16$ del volumen del tetraedro.
• Errores de signo en la componente $\vec\jmath$ del producto vectorial.
• No dar unidades ($\text{u}$, $\text{u}^2$, $\text{u}^3$) o mezclarlas entre apartados.

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

1. Escalar para ángulos, vectorial para perpendiculares y áreas, mixto para volúmenes y coplanariedad.
2. Perpendiculares ⇔ escalar nulo; paralelos ⇔ vectorial nulo. No los intercambies.
3. Recta: punto + director. Plano: normal $(A,B,C)$ leído de la ecuación general.
4. Recta y plano: primero $\vec u\cdot\vec n$, después el punto — secantes, paralelos o contenida.
5. Dos rectas en el espacio tienen un cuarto destino que no existe en el plano: cruzarse.
6. Distancia punto–plano: sustituir y dividir por el módulo del normal — y antes de cualquier distancia, comprobar la posición relativa.