Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Halla el punto simétrico de

P(2,1,-5)

respecto de la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x-z = 0 \\ x+y+2 = 0\end{cases}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,-1,1); \qquad A(0,-2,0)\in r\;}

\boxed{\;Q(t) = (t,\, -2-t,\, t), \qquad \vec{PQ}\cdot\vec{u} = 3t+6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2\;}

\boxed{\;M = (-2,\, 0,\, -2)\;}

\boxed{\;P' = 2M-P = (-6,\, -1,\, 1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico respecto de una recta se obtiene con el pie de la perpendicular:

Punto $A$ y director $\vec{u}$ de $r$ (producto vectorial de los normales).
Punto genérico $Q(t)$ de $r$ e imponer $\;\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ : sale el pie $M$ .
Como $M$ es el punto medio de $\overline{PP'}$ ,

P' = 2M-P

(Alternativamente, se puede cortar $r$ con el plano perpendicular a ella por $P$ ; es el mismo cálculo.)

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,0,-1)

\vec{n_{2}} = (1,1,0)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(0)-(-1)(1) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(0)-(-1)(1)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (1)(1)-(0)(1) = 1

\vec{u} = (1,\, -1,\, 1)

Un punto de $r$ . Con

x = 0

: de la primera,

z = 0

; de la segunda,

y = -2

A(0,\,-2,\,0)

(Comprobación: $0-0 = 0$ $\checkmark$ y $0-2+2 = 0$ $\checkmark$ )

El pie de la perpendicular. Punto genérico:

Q(t) = (t,\; -2-t,\; t)

\vec{PQ} = \bigl(t-2,\; -3-t,\; t+5\bigr)

Imponiendo $\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ :

(t-2)-(-3-t)+(t+5) = t-2+3+t+t+5 = 3t+6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2

M = (-2,\; -2+2,\; -2) = (-2,\, 0,\, -2)

Comprobación.

\;\vec{PM} = (-4,-1,3)

\;\vec{PM}\cdot\vec{u} = -4+1+3 = 0

\;\checkmark

El simétrico.

P' = 2M-P = (-4-2,\; 0-1,\; -4+5) = (-6,\, -1,\, 1)

Comprobaciones.

\text{Punto medio de } P \text{ y } P': \ \left(\frac{2-6}{2},\; \frac{1-1}{2},\; \frac{-5+1}{2}\right) = (-2,\,0,\,-2) = M \;\checkmark

d(P,r) = \lVert\vec{PM}\rVert = \sqrt{16+1+9} = \sqrt{26} \approx 5{,}10 = d(P',r) \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para una recta dada como intersección de planos, el director es el producto vectorial de los normales. Y el punto se obtiene fijando una coordenada y resolviendo.

La condición del pie es $\vec{PQ}\perp\vec{u}$ , con $Q$ sobre la recta. Un error habitual es imponer la perpendicularidad con $\vec{AP}$ en lugar de con el director.

Usa $P' = 2M-P$ : es más rápido y seguro que resolver componente a componente. Y comprueba al final que el punto medio de $\overline{PP'}$ vuelve a dar $M$ .