Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(1,0,2)

y la recta

r

dada por las ecuaciones

r \equiv \begin{cases} 2x-y-4 = 0 \\ \phantom{2x-}y+2z-8 = 0\end{cases}

a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que pasa por

P

y es perpendicular a

r

.

b) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de

P

respecto de la recta

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (-2,-4,2) \sim (1,2,-1); \qquad A(2,0,4)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } (x-1)+2y-(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x+2y-z+1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } Q(t) = (2+t,2t,4-t) \text{ en el plano}: \ 6t-1 = 0 \Rightarrow t = \tfrac16\;}

\boxed{\;M\left(\tfrac{13}{6},\tfrac13,\tfrac{23}{6}\right), \qquad P' = 2M-P = \left(\tfrac{10}{3},\; \tfrac23,\; \tfrac{17}{3}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados encajan: el plano de a) es la herramienta que resuelve b).

a) Plano perpendicular a una recta $\Rightarrow$ su normal es el director $\vec{u}$ de $r$ , obtenido como producto vectorial de los normales de sus dos planos.
b) El pie de la perpendicular desde $P$ es el corte de ese plano con $r$ ; después,

P' = 2M-P

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (2,-1,0)

\vec{n_{2}} = (0,1,2)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: (-1)(2)-(0)(1) = -2 \qquad \vec{j}: -\bigl[(2)(2)-(0)(0)\bigr] = -4 \qquad \vec{k}: (2)(1)-(-1)(0) = 2

\vec{u} = (-2,\, -4,\, 2) \;\sim\; (1,\, 2,\, -1)

Un punto de $r$ . Con

x = 2

: de la primera,

y = 0

; de la segunda,

z = 4

A(2,\,0,\,4)

(Comprobación: $4-0-4 = 0$ $\checkmark$ y $0+8-8 = 0$ $\checkmark$ )

a) El plano perpendicular a $r$ por $P(1,0,2)$ . Su normal es

\vec{u}\sim(1,2,-1)

1\,(x-1)+2\,(y-0)-1\,(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x+2y-z+1 = 0

Comprobación.

P(1,0,2)

\;1+0-2+1 = 0

\;\checkmark

b) El pie de la perpendicular. Punto genérico de

r

, con

\vec{u} = (1,2,-1)

Q(t) = (2+t,\; 2t,\; 4-t)

Sustituyendo en el plano:

(2+t)+2\,(2t)-(4-t)+1 = 2+t+4t-4+t+1 = 6t-1 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac16

M = \left(2+\frac16,\; \frac26,\; 4-\frac16\right) = \left(\frac{13}{6},\; \frac13,\; \frac{23}{6}\right)

Comprobación.

\;\vec{PM} = \left(\frac76,\, \frac13,\, \frac{11}{6}\right)

\vec{PM}\cdot\vec{u} = \frac76+\frac23-\frac{11}{6} = \frac{7+4-11}{6} = 0 \;\checkmark

El simétrico.

P' = 2M-P = \left(\frac{26}{6}-1,\; \frac23-0,\; \frac{46}{6}-2\right) = \left(\frac{10}{3},\; \frac23,\; \frac{17}{3}\right)

Comprobación. Punto medio de

P

P'

\left(\frac{1+\frac{10}{3}}{2},\; \frac{0+\frac23}{2},\; \frac{2+\frac{17}{3}}{2}\right) = \left(\frac{13}{6},\; \frac13,\; \frac{23}{6}\right) = M \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Perpendicular a la recta" $\Rightarrow$ el normal del plano es el director de $r$ . Y ese director sale del producto vectorial de los dos normales que definen la recta.

El plano de a) resuelve b): su corte con $r$ es el pie de la perpendicular. Por eso los apartados van en ese orden.

Puedes simplificar $\vec{u} = (-2,-4,2)$ a $(1,2,-1)$ , pero úsalo de forma coherente en el plano y en el punto genérico. Y comprueba al final que $\vec{PM}\cdot\vec{u} = 0$ .