Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,0,1)

B(-1,0,2)

O(0,0,0)

, y la recta

r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \phantom{-1-}\lambda \\ z = \phantom{-1-}2\end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula la distancia del punto

A

a la recta

r

.

b) [1 punto] Determina el área del triángulo de vértices

A

B

O

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad d(A,r) = \frac{\lVert\vec{RA}\times\vec{d}\rVert}{\lVert\vec{d}\rVert} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Área} = \tfrac12\lVert\vec{OA}\times\vec{OB}\rVert = \tfrac12\cdot 3 = \tfrac32\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados usan la misma herramienta, el producto vectorial, en sus dos aplicaciones clásicas:

d(A, r) = \frac{\bigl\lVert\vec{RA}\times\vec{d}\bigr\rVert}{\bigl\lVert\vec{d}\bigr\rVert}, \qquad \text{Área}_{\triangle} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{OA}\times\vec{OB}\bigr\rVert

Lo único que hay que hacer bien es leer los datos de la recta: el punto se obtiene con

\lambda = 0

y el director son los coeficientes de

\lambda

Desarrollo

a) Datos de la recta. Con

\lambda = 0

R(-1, 0, 2)

. Los coeficientes de

\lambda

dan el director:

\vec{d} = (-1,\, 1,\, 0)

Vector desde el punto de la recta hasta $A$ .

\vec{RA} = A - R = \bigl(1-(-1),\; 0-0,\; 1-2\bigr) = (2,\, 0,\, -1)

Producto vectorial.

\vec{RA}\times\vec{d} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: \; (0)(0) - (-1)(1) = 1

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(0) - (-1)(-1)\Bigr] = -(0 - 1) = 1

\vec{k}: \; (2)(1) - (0)(-1) = 2

\vec{RA}\times\vec{d} = (1,\, 1,\, 2), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}

\bigl\lVert\vec{d}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}

d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{unidades}

b) Área del triángulo $AOB$ . Desde el origen:

\vec{OA} = (1,\, 0,\, 1), \qquad \vec{OB} = (-1,\, 0,\, 2)

\vec{OA}\times\vec{OB} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: \; (0)(2) - (1)(0) = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(2) - (1)(-1)\Bigr] = -(2 + 1) = -3

\vec{k}: \; (1)(0) - (0)(-1) = 0

\vec{OA}\times\vec{OB} = (0,\, -3,\, 0), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = 3

\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{3}{2} = 1{,}5 \ \text{unidades cuadradas}

(Coherente: los tres puntos tienen $y = 0$ , así que el triángulo está contenido en el plano $XZ$ y su producto vectorial debe ser perpendicular a él, es decir, dirigido según $\vec{j}$ — como en efecto ocurre.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la fórmula de la distancia punto-recta, el denominador es el módulo del director, no el del vector $\vec{RA}$ . Es el error más repetido: da un número parecido y engaña.

En b), el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial (el módulo entero es el área del paralelogramo). Y como los tres vértices tienen $y=0$ , puedes comprobar el resultado tratándolo como un triángulo plano en el plano $XZ$ con la fórmula base por altura entre dos.

Cuando la recta viene en paramétricas, el director son los coeficientes del parámetro: aquí $(-1, 1, 0)$ , no $(-1, 0, 2)$ , que es el punto.