Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sean

A(-3,4,0)

B(3,6,3)

C(-1,2,1)

los vértices de un triángulo.

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano

\pi

que contiene al triángulo.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta perpendicular a

\pi

que pasa por el origen de coordenadas.

c) [0,5 puntos] Calcula el área del triángulo

ABC

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (6,2,3), \quad \vec{AC} = (2,-2,1), \quad \vec{AB}\times\vec{AC} = (8,0,-16)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} \sim (1,0,-2) \text{ por } A(-3,4,0): \quad x-2z+3 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } (x,y,z) = t\,(1,0,-2), \ \text{ es decir } \ y = 0, \ z = -2x\;}

\boxed{\;\text{c) Área} = \tfrac12\lVert(8,0,-16)\rVert = \tfrac12\cdot8\sqrt5 = 4\sqrt5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados se resuelven con un solo producto vectorial:

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC}

a) Ese vector es el normal del plano que contiene a los tres puntos.
b) Una recta perpendicular al plano tiene por director ese mismo $\vec{n}$ ; como pasa por el origen, las paramétricas son inmediatas.
c) El área del triángulo es medio módulo de ese producto vectorial.

Calcularlo una vez y reutilizarlo es la clave del ejercicio.

Desarrollo

Los vectores del triángulo.

\vec{AB} = (3+3,\; 6-4,\; 3-0) = (6,\, 2,\, 3)

\vec{AC} = (-1+3,\; 2-4,\; 1-0) = (2,\, -2,\, 1)

El producto vectorial.

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 2 & 3 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (2)(1)-(3)(-2) = 2+6 = 8

\vec{j}: -\bigl[(6)(1)-(3)(2)\bigr] = -\bigl[6-6\bigr] = 0

\vec{k}: (6)(-2)-(2)(2) = -12-4 = -16

\vec{n} = (8,\, 0,\, -16) \;\sim\; (1,\, 0,\, -2)

a) El plano. Con normal

(1,0,-2)

y pasando por

A(-3,4,0)

1\,(x+3)+0\,(y-4)-2\,(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; x-2z+3 = 0

Comprobaciones.

B(3,6,3)

\;3-6+3 = 0\;\checkmark

;

\;C(-1,2,1)

\;-1-2+3 = 0\;\checkmark

(Curiosidad: el plano no contiene a $y$ , es decir, es paralelo al eje $OY$ . Eso lo delata la componente nula del normal.)

b) La recta perpendicular por el origen. Su director es

\vec{n}\sim(1,0,-2)

y pasa por

O(0,0,0)

\begin{cases} x = \phantom{-}t \\ y = \phantom{-}0 \\ z = -2t\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x}{1} = \frac{z}{-2}, \quad y = 0

c) El área del triángulo.

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \frac{1}{2}\lVert(8,0,-16)\rVert = \frac{1}{2}\sqrt{64+0+256}

= \frac{\sqrt{320}}{2} = \frac{8\sqrt5}{2} = 4\sqrt5 \approx 8{,}94 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Un producto vectorial, tres apartados. $\vec{AB}\times\vec{AC}$ es el normal del plano, el director de la recta perpendicular y, por su módulo, el doble del área. Calcúlalo una vez.

Puedes simplificar el normal a $(1,0,-2)$ para el plano y la recta, pero para el área necesitas el módulo del vector original $(8,0,-16)$ . Es el despiste más caro del ejercicio.

Comprueba el plano sustituyendo $B$ y $C$ : si los tres vértices lo cumplen, el apartado a) es correcto y los otros dos se apoyan en él con seguridad.