Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas

r \equiv x = y = z \qquad \text{y} \qquad s \equiv x-1 = y-2 = z-3

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Resultado

\boxed{\;r: A(0,0,0), \ \vec{u} = (1,1,1); \qquad s: B(1,2,3), \ \vec{v} = (1,1,1)\;}

\boxed{\;\vec{u} = \vec{v} \ \text{ y } \ B\notin r \;\Longrightarrow\; \textbf{paralelas distintas}\;}

\boxed{\;\vec{AB} = (1,2,3), \qquad \vec{AB}\times\vec{u} = (-1,2,-1)\;}

\boxed{\;d(r,s) = \frac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt2 \approx 1{,}41\;}

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Estrategia

Lo primero, siempre, es determinar la posición relativa: el método para calcular la distancia depende de si las rectas se cruzan, son paralelas o se cortan.

Aquí las dos ecuaciones continuas tienen denominadores $1$ en las tres coordenadas, así que ambos directores son

(1,1,1)

: las rectas son paralelas.

Entre paralelas la distancia es punto-recta:

d(r,s) = \frac{\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}

(Usar la fórmula del producto mixto sería un error: valdría $0$ y daría distancia indeterminada.)

Desarrollo

Punto y director de cada recta.

r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \;\Longrightarrow\; A(0,\,0,\,0), \quad \vec{u} = (1,\, 1,\, 1)

s \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1} \;\Longrightarrow\; B(1,\,2,\,3), \quad \vec{v} = (1,\, 1,\, 1)

Posición relativa.

\vec{u} = \vec{v}

, luego las rectas son paralelas. ¿Coincidentes? Veamos si

B\in r

: haría falta

1 = 2 = 3

, lo cual es falso.

\textbf{Rectas paralelas distintas}

El vector entre los puntos.

\vec{AB} = (1,\, 2,\, 3)

El producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (2)(1)-(3)(1) = -1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(3)(1)\bigr] = 2 \qquad \vec{k}: (1)(1)-(2)(1) = -1

\vec{AB}\times\vec{u} = (-1,\, 2,\, -1)

La distancia.

\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{1+4+1} = \sqrt6 \qquad \lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1+1+1} = \sqrt3

d(r,s) = \frac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt{2} \approx 1{,}41

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Consejo

Determina la posición relativa antes de elegir la fórmula. Aquí los directores coinciden: son paralelas, y el producto mixto (fórmula para rectas que se cruzan) daría $0$ dividido entre $0$ .

Cuando la ecuación continua se escribe sin denominadores explícitos ( $x = y = z$ ), los denominadores son $1$ : el director es $(1,1,1)$ . Es fácil pasarlo por alto.

Comprueba que $B$ no pertenece a $r$ : si lo estuviera, las rectas serían la misma y la distancia sería $0$ . Basta con ver que $1\neq2$ .