Rectas y planos

Datos de la recta. Los vectores normales de los dos planos que la definen son$$\vec{n}_{1} = (1, -1, 1), \qquad \vec{n}_{2} = (1, 2, -1)$$El vector director de $r$ es su producto vectorial:$$\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right| = (1 - 2)\,\vec{i} - (-1 - 1)\,\vec{j} + (2 + 1)\,\vec{k} = (-1,\ 2,\ 3)$$Un punto de $r$: haciendo $z = 1$ queda $x - y = 2$ y $x + 2y = 5$, de donde $3y = 3$, es decir $y = 1$, $x = 3$. Luego$$P(3,\ 1,\ 1) \in r$$(Comprobación: $3-1+1=3$ ✓ y $3+2-1=4$ ✓.)

a) El vector normal del plano es $\vec{n} = (m, -1, -2)$. La recta es paralela al plano cuando su dirección es perpendicular a la normal:$$\vec{v}\cdot\vec{n} = 0 \;\Longrightarrow\; (-1)\cdot m + 2\cdot(-1) + 3\cdot(-2) = -m - 2 - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; m = -8$$Falta descartar que la recta esté contenida en el plano. Con $m = -8$, sustituimos $P(3,1,1)$ en $\pi$:$$-8\cdot 3 - 1 - 2\cdot 1 = -24 - 1 - 2 = -27 \neq 5$$$P \notin \pi$, luego para $m = -8$ la recta y el plano son paralelos y disjuntos (que es lo que se pide). Para cualquier otro valor de $m$ se cortan en un punto.

b) Con $m = -8$ el plano es $\pi \equiv -8x - y - 2z - 5 = 0$. Al ser $r \parallel \pi$, la distancia de la recta al plano es la de cualquiera de sus puntos; tomamos $P(3,1,1)$:$$d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|-8\cdot 3 - 1 - 2\cdot 1 - 5|}{\sqrt{(-8)^{2} + (-1)^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{|-32|}{\sqrt{64 + 1 + 4}} = \frac{32}{\sqrt{69}}$$Racionalizando:$$d(r,\pi) = \frac{32\sqrt{69}}{69} \approx 3{,}85 \ \text{unidades}$$Comprobación con otro punto de $r$: con $z = 0$ sale $Q\left(\frac{10}{3}, \frac{1}{3}, 0\right)$, y$$\left|-8\cdot\frac{10}{3} - \frac{1}{3} - 0 - 5\right| = \left|-\frac{81}{3} - 5\right| = 32$$el mismo numerador, como tenía que ocurrir al ser la recta paralela al plano.