Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 8. Considera los puntos

A(-1, 3, 2)

B(2, -1, -1)

C(a - 2,\, 7,\, b)

.

a) [1,25 puntos] Determina

a

b

para que los puntos

A

B

C

estén alineados.

b) [1,25 puntos] En el caso

a = b = 1

, halla la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos

A

B

C

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{AC} = -\vec{AB} \;\Longrightarrow\; a = -2, \quad b = 5\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n} = (16, 3, 12); \qquad r \equiv (x,y,z) = t\,(16, 3, 12)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), tres puntos están alineados cuando los vectores

\vec{AB}

\vec{AC}

son proporcionales. La segunda coordenada permite despejar la constante de proporcionalidad de inmediato, y con ella salen

a

b

sin resolver ningún sistema.

En b), "perpendicular al plano" significa que el vector director de la recta es el vector normal del plano. Así que basta el producto vectorial de dos vectores del plano; no hace falta escribir la ecuación del plano.

Conviene notar que con

a = b = 1

los puntos no están alineados (por a), solo lo están con

a=-2

b=5

), lo cual es imprescindible para que exista un plano único.

Desarrollo

a) Vectores.

\vec{AB} = B - A = (3,\, -4,\, -3), \qquad \vec{AC} = C - A = \bigl(a - 1,\; 4,\; b - 2\bigr)

Condición de alineación. Deben ser proporcionales:

\vec{AC} = k\,\vec{AB}

.

De la segunda coordenada (la única sin parámetros):

4 = k\,(-4) \;\Longrightarrow\; k = -1

Y con ese valor:

a - 1 = -1\cdot 3 = -3 \;\Longrightarrow\; a = -2

b - 2 = -1\cdot(-3) = 3 \;\Longrightarrow\; b = 5

Comprobación: con

a=-2

b=5

C(-4, 7, 5)

\vec{AC} = (-3, 4, 3) = -\vec{AB}\;\checkmark

b) Caso $a = b = 1$ . Ahora

C(1-2,\, 7,\, 1) = (-1,\, 7,\, 1)

\vec{AB} = (3,\, -4,\, -3), \qquad \vec{AC} = (0,\, 4,\, -1)

Vector normal del plano.

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-4)(-1) - (-3)(4) = 4 + 12 = 16

\vec{j}: \; -\Bigl[(3)(-1) - (-3)(0)\Bigr] = -(-3) = 3

\vec{k}: \; (3)(4) - (-4)(0) = 12

\vec{n} = (16,\, 3,\, 12)

Como

\vec{n} \neq \vec{0}

, los tres puntos no están alineados y determinan un plano.

La recta. Pasa por el origen y lleva la dirección

\vec{n}

r \equiv (x, y, z) = t\,(16,\, 3,\, 12), \qquad t \in \mathbb{R}

o en forma continua,

\frac{x}{16} = \frac{y}{3} = \frac{z}{12}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para la proporcionalidad, empieza por la coordenada sin parámetros: aquí la segunda da $k = -1$ de golpe, y las otras dos se convierten en ecuaciones inmediatas. Plantear las tres razones iguales y despejar a ciegas funciona, pero es más lento y más propenso a errores de signo.

En b) no hace falta la ecuación del plano: lo que se pide es la recta perpendicular, y su director es directamente el producto vectorial. Calcular el plano para luego "sacar" su normal es un paso intermedio innecesario.