Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

P(1,0,-2)

, la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x-2y-1 = 0 \\ y+z-2 = 0\end{cases}

y el plano

\pi

de ecuación

\;2x+y+3z-1 = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por

P

, es paralelo a $r$ y es perpendicular a $\pi$ .

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por

P

, corta a $r$ y es paralela a $\pi$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (-2,-1,1), \ A(1,0,2)\in r; \qquad \vec{n_{\pi}} = (2,1,3)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec n = \vec u\times\vec{n_{\pi}} = (-4,8,0)\sim(1,-2,0) \Rightarrow x-2y-1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{PQ} = (-2t,-t,4+t); \ \ \vec{PQ}\cdot\vec{n_{\pi}} = -2t+12 = 0 \Rightarrow t = 6\;}

\boxed{\;Q(-11,-6,8); \quad s\colon (1,0,-2)+\mu\,(-6,-3,5)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Dos condiciones sobre el normal $\vec n$ del plano buscado:

- paralelo a $r$

\Rightarrow \vec n\perp\vec u

,
- perpendicular a $\pi$

\Rightarrow \vec n\perp\vec{n_{\pi}}

.

Perpendicular a dos vectores

\Rightarrow \vec n = \vec u\times\vec{n_{\pi}}

b) No busques el director "a ciegas": parametriza el punto de corte $Q$ sobre $r$ . La recta es la que une $P$ con $Q$ , y "paralela a $\pi$ " se traduce en $\vec{PQ}\cdot\vec{n_{\pi}} = 0$ : una ecuación con una incógnita.

Desarrollo

Datos de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,-2,0)

\vec{n_{2}} = (0,1,1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right| = (-2,\, -1,\, 1)

Un punto: con

y = 0

\;x = 1

z = 2

, luego

A(1,\,0,\,2)

.

Y el normal del plano:

\;\vec{n_{\pi}} = (2,\,1,\,3)

.

a) El plano.

\vec n = \vec u\times\vec{n_{\pi}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right|

\vec i: (-1)(3)-(1)(1) = -4 \qquad \vec j: -\bigl[(-2)(3)-(1)(2)\bigr] = 8 \qquad \vec k: (-2)(1)-(-1)(2) = 0

\vec n = (-4,\, 8,\, 0) \;\sim\; (1,\, -2,\, 0)

Con $P(1,0,-2)$ :

1\,(x-1)-2\,(y-0)+0 = 0 \;\Longrightarrow\; x-2y-1 = 0

Comprobaciones.

\vec n\cdot\vec u = -2+2+0 = 0 \;\checkmark \quad (\text{paralelo a } r)

\vec n\cdot\vec{n_{\pi}} = 2-2+0 = 0 \;\checkmark \quad (\text{perpendicular a } \pi)

(Curiosidad: el plano obtenido es uno de los dos que definen $r$ , así que además de ser paralelo a la recta, la contiene. Se comprueba con $A(1,0,2)$ : $\;1-0-1 = 0$ .)

b) La recta. Punto genérico de

r

Q(t) = A+t\,\vec u = (1-2t,\; -t,\; 2+t)

\vec{PQ} = Q-P = (1-2t-1,\; -t-0,\; 2+t+2) = (-2t,\; -t,\; 4+t)

Condición de paralelismo con $\pi$ (el director debe ser perpendicular al normal):

\vec{PQ}\cdot\vec{n_{\pi}} = 2(-2t)+1(-t)+3(4+t) = -4t-t+12+3t = -2t+12 = 0

t = 6 \;\Longrightarrow\; Q = (1-12,\; -6,\; 8) = (-11,\; -6,\; 8)

\vec{PQ} = (-12,\, -6,\, 10) \;\sim\; (-6,\, -3,\, 5)

La recta:

s \equiv (x,y,z) = (1,\,0,\,-2)+\mu\,(-6,\,-3,\,5)

Comprobaciones.

(-6,-3,5)\cdot(2,1,3) = -12-3+15 = 0 \;\checkmark

P \text{ en } \pi\text{: } 2+0-6-1 = -5 \neq 0 \;\checkmark \quad (\text{paralela, no contenida})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traduce cada condición a una relación con el normal del plano: "paralelo a $r$ " y "perpendicular a $\pi$ " son ambas perpendicularidades de $\vec n$ , así que sale del producto vectorial.

En b), parametrizar el punto de corte convierte el problema en una única ecuación con el parámetro. Buscar el director directamente lleva a un sistema mucho más pesado.

"Paralela a $\pi$ " es $\vec{PQ}\cdot\vec{n_{\pi}} = 0$ , no un paralelismo de vectores. Y conviene comprobar que $P\notin\pi$ , o la recta estaría contenida en el plano.