Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,0,2)

B(-1,2,4)

y la recta

r

definida por

\frac{x+2}{2} = y-1 = \frac{z-1}{3}

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de $A$ y de $B$ .

b) [1 punto] Halla la ecuación del plano paralelo a $r$ y que contiene los puntos $A$ y $B$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,2,2), \quad M_{AB}(0,1,3); \qquad \vec u = (2,1,3)\;}

\boxed{\;\text{a) Plano mediador: normal } \vec{AB} \text{ por } M_{AB} \Rightarrow x-y-z+4 = 0\;}

\boxed{\;d(A,\pi_{1}) = d(B,\pi_{1}) = \sqrt3 \;\checkmark\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec n = \vec{AB}\times\vec u = (4,10,-6) \Rightarrow \pi_{2}\colon 2x+5y-3z+4 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y $B$ es el plano mediador del segmento $AB$ : pasa por su punto medio y tiene por normal $\vec{AB}$ .

(No hace falta plantear $d(P,A) = d(P,B)$ con raíces: la construcción geométrica es directa.)

b) Plano por $A$ con dos direcciones: $\vec{AB}$ (para contener a $B$ ) y $\vec u$ , el director de $r$ (para ser paralelo a ella).

Desarrollo

Datos.

\vec{AB} = B-A = (-2,\; 2,\; 2) \qquad M_{AB} = \left(\frac{1-1}{2},\; \frac{0+2}{2},\; \frac{2+4}{2}\right) = (0,\,1,\,3)

\;\dfrac{x+2}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{3}

\vec u = (2,\, 1,\, 3) \qquad P_{0}(-2,\,1,\,1)\in r

a) El plano mediador. Normal

\vec{AB} = (-2,2,2)\sim(-1,1,1)

, punto

M_{AB}(0,1,3)

-1\,(x-0)+1\,(y-1)+1\,(z-3) = 0 \;\Longrightarrow\; -x+y+z-4 = 0

\pi_{1}\colon\; x-y-z+4 = 0

Comprobación de la equidistancia.

d(A,\pi_{1}) = \frac{|1-0-2+4|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3

d(B,\pi_{1}) = \frac{|-1-2-4+4|}{\sqrt3} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3 \;\checkmark

(Y el punto medio está en el plano: $\;0-1-3+4 = 0$ $\checkmark$ )

b) El plano paralelo a $r$ por $A$ y $B$ . Direcciones

\vec{AB} = (-2,2,2)

\vec u = (2,1,3)

\vec n = \vec{AB}\times\vec u = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right|

\vec i: (2)(3)-(2)(1) = 4 \qquad \vec j: -\bigl[(-2)(3)-(2)(2)\bigr] = 10 \qquad \vec k: (-2)(1)-(2)(2) = -6

\vec n = (4,\, 10,\, -6) \;\sim\; (2,\, 5,\, -3)

Con el punto

A(1,0,2)

2\,(x-1)+5\,(y-0)-3\,(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+5y-3z+4 = 0

\pi_{2}\colon\; 2x+5y-3z+4 = 0

Comprobaciones.

B(-1,2,4): \ -2+10-12+4 = 0 \;\checkmark

Un punto de $r$ ,

P_{0}(-2,1,1)

\;-4+5-3+4 = 2 \neq 0

\;\checkmark

(Confirma que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Puntos que equidistan de $A$ y $B$ " $=$ plano mediador: punto medio + normal $\vec{AB}$ . Plantear $d(P,A) = d(P,B)$ con raíces funciona, pero es mucho más largo y propenso a errores.

En b), "paralelo a $r$ " aporta una dirección ( $\vec u$ ), no una perpendicularidad. Junto con $\vec{AB}$ ya tienes las dos direcciones del plano.

Comprueba que un punto de $r$ no cumple la ecuación de $\pi_{2}$ . Si la cumpliera, la recta estaría contenida en el plano y el enunciado pediría otra cosa.