Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \frac{x - 2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ \phantom{x + {}} 2y + z = 2 \end{cases}

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano que contiene a

r

y a

s

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Resultado

\boxed{\;\vec{d}_{s} = (2,-1,2) = -\vec{d}_{r} \;\text{ y }\; S \notin r \;\Longrightarrow\; \textbf{paralelas y distintas}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv 2y + z = 2\;}

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Estrategia

El guion de siempre para la posición relativa, empezando por comparar los directores. Aquí ocurre lo más favorable: resultan ser proporcionales, así que las rectas son paralelas y solo queda distinguir si son coincidentes o distintas, comprobando si un punto de una pertenece a la otra.

Ese resultado condiciona el apartado b): dos rectas paralelas y distintas sí determinan un plano (y uno solo). Para construirlo se toman el punto y la dirección de una de ellas, más el vector que une un punto de cada una como segunda dirección.

Desarrollo

Datos de $r$ . De la ecuación continua

\dfrac{x-2}{-2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{-2}

R(2,\, 1,\, 0), \qquad \vec{d}_{r} = (-2,\, 1,\, -2)

Vector director de $s$ . Producto vectorial de los normales

(1,2,0)

(0,2,1)

\vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(1) - (0)(2) = 2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(1) - (0)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: \; (1)(2) - (2)(0) = 2

\vec{d}_{s} = (2,\, -1,\, 2)

Un punto de $s$ . Haciendo

y = 0

\;x = 3

z = 2

S(3,\, 0,\, 2)

a) Posición relativa.

\vec{d}_{s} = (2, -1, 2) = -\,(-2, 1, -2) = -\,\vec{d}_{r}

Los directores son proporcionales: las rectas son paralelas.

¿Coincidentes? Comprobamos si

S(3,0,2)

pertenece a

r

\frac{3 - 2}{-2} = -\frac{1}{2}, \qquad \frac{0 - 1}{1} = -1, \qquad \frac{2}{-2} = -1

Los tres cocientes no coinciden (

-\frac{1}{2} \neq -1

), luego

S \notin r

r \text{ y } s \text{ son } \textbf{paralelas y distintas}

b) El plano que las contiene. Dos rectas paralelas y distintas determinan un plano único. Pasa por

R(2,1,0)

y lleva las direcciones

\vec{d}_{r}

\vec{RS}

\vec{RS} = S - R = (1,\, -1,\, 2)

\vec{n} = \vec{d}_{r} \times \vec{RS} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[(-2)(2) - (-2)(1)\Bigr] = -\bigl[-4 + 2\bigr] = 2

\vec{k}: \; (-2)(-1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1

\vec{n} = (0,\, 2,\, 1)

Ecuación. Imponiendo el paso por

R(2,1,0)

0\,(x - 2) + 2\,(y - 1) + 1\,(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; 2y + z - 2 = 0

\pi \equiv 2y + z = 2

Comprobaciones.

$R(2,1,0)$ : $\;2 + 0 = 2\;\checkmark$ y $S(3,0,2)$ : $\;0 + 2 = 2\;\checkmark$
$\vec{d}_{r}\cdot\vec{n} = (-2)(0) + (1)(2) + (-2)(1) = 0 + 2 - 2 = 0\;\checkmark$ (la dirección está contenida en el plano)

(Observa que la ecuación obtenida es exactamente la segunda de las que definen $s$ . Tiene sentido: ese plano ya contenía a $s$ , y resulta que también contiene a $r$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Empieza siempre comparando los directores. Si son proporcionales, ya sabes que son paralelas o coincidentes y te ahorras el producto mixto entero; y para distinguir los dos casos basta comprobar si un punto de una está en la otra.

Dos rectas paralelas distintas determinan un plano único; si fueran coincidentes habría infinitos y la pregunta "calcula, si es posible, el plano" tendría otra respuesta. Ese "si es posible" del enunciado es una pista de que hay que justificar el caso antes de calcular.

Paso 1 de 3

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