Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea

r

la recta que pasa por

A(4,3,6)

B(-2,0,0)

, y sea

s

la recta dada por

s \equiv \begin{cases} x = 2 + \phantom{2}\lambda \\ y = \phantom{2 + 2}\lambda \\ z = 1 - 2\lambda\end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de

r

s

.

b) [1,25 puntos] Calcula, si existen, los puntos

C

s

tales que los vectores

\vec{CA}

\vec{CB}

son ortogonales.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: A(4,3,6),\, \vec{u} = (2,1,2); \qquad s: S(2,0,1),\, \vec{v} = (1,1,-2)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{No paralelas y } \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{AS}\bigr] = -15 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{CA}\cdot\vec{CB} = 6\lambda^{2}+7\lambda-13 = 0: \quad C_{1}(3,1,-1) \text{ y } C_{2}\left(-\tfrac16, -\tfrac{13}{6}, \tfrac{16}{3}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El director de $r$ es $\vec{AB}$ ; el de $s$ se lee de las paramétricas. Se comprueba primero el paralelismo y, si no lo son, decide el producto mixto.
b) " $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ ortogonales" es $\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0$ . Se parametriza $C$ sobre $s$ y sale una ecuación de segundo grado en $\lambda$ (los términos cuadráticos no se cancelan, a diferencia de las condiciones de equidistancia), así que puede haber dos soluciones.

Desarrollo

Elementos de las rectas.

r: \quad A(4,3,6), \qquad \vec{u} = \vec{AB} = (-6,\, -3,\, -6) \;\parallel\; (2,\, 1,\, 2)

s: \quad S(2,\, 0,\, 1), \qquad \vec{v} = (1,\, 1,\, -2)

a) ¿Paralelas?

(2,1,2)

(1,1,-2)

no son proporcionales (

\tfrac21 \neq \tfrac11

): no lo son.

Producto mixto.

\vec{AS} = S - A = (-2,\, -3,\, -5)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{AS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -2 \\ -2 & -3 & -5\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 2\bigl[-5 - 6\bigr] - 1\bigl[-5 - 4\bigr] + 2\bigl[-3 + 2\bigr] = -22 + 9 - 2 = -15 \neq 0

r \text{ y } s \textbf{ se cruzan}

b) Los puntos $C$ . Un punto genérico de

s

C(\lambda) = \bigl(2+\lambda,\; \lambda,\; 1-2\lambda\bigr)

\vec{CA} = A - C = \bigl(2 - \lambda,\; 3 - \lambda,\; 5 + 2\lambda\bigr)

\vec{CB} = B - C = \bigl(-4 - \lambda,\; -\lambda,\; -1 + 2\lambda\bigr)

Producto escalar.

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = (2-\lambda)(-4-\lambda) + (3-\lambda)(-\lambda) + (5+2\lambda)(2\lambda - 1)

Término a término:

(2-\lambda)(-4-\lambda) = -8 - 2\lambda + 4\lambda + \lambda^{2} = \lambda^{2} + 2\lambda - 8

(3-\lambda)(-\lambda) = \lambda^{2} - 3\lambda

(5+2\lambda)(2\lambda-1) = 10\lambda - 5 + 4\lambda^{2} - 2\lambda = 4\lambda^{2} + 8\lambda - 5

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 6\lambda^{2} + 7\lambda - 13 = 0

Resolviendo.

\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 312}}{12} = \frac{-7 \pm 19}{12} \;\Longrightarrow\; \lambda = 1 \quad \text{o} \quad \lambda = -\frac{13}{6}

Los dos puntos.

\lambda = 1: \quad C_{1} = (3,\, 1,\, -1)

\lambda = -\frac{13}{6}: \quad C_{2} = \left(-\frac16,\; -\frac{13}{6},\; \frac{16}{3}\right)

Comprobación con $C_{1}$ :

\;\vec{C_{1}A} = (1,2,7)

\vec{C_{1}B} = (-5,-1,1)

, cuyo producto escalar es

-5 - 2 + 7 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Puedes simplificar el director de $r$ de $(-6,-3,-6)$ a $(2,1,2)$ : el producto mixto cambia de valor (queda dividido entre $-3$ ), pero no deja de ser nulo o no nulo, que es lo único que importa para la posición relativa.

En b), a diferencia de las condiciones de equidistancia, los términos en $\lambda^{2}$ no se cancelan: la ecuación es de segundo grado y puede tener dos soluciones. Aquí las tiene, y hay que dar las dos.

Geométricamente, los puntos $C$ desde los que se "ve" el segmento $AB$ bajo un ángulo recto forman una esfera de diámetro $AB$ ; los dos que salen son los cortes de esa esfera con la recta $s$ . Por eso son, como mucho, dos.