Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea el punto

P(2,3,-1)

y la recta

r

dada por las ecuaciones

r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda\end{cases}

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a

r

que pasa por

P

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia del punto

P

a la recta

r

y determina el punto simétrico de

P

respecto de

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (0,-2,1), \quad A(1,0,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } -2(y-3)+(z+1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2y-z-7 = 0\;}

\boxed{\;Q(\lambda) \text{ en el plano}: -5\lambda-7 = 0 \Rightarrow \lambda = -\tfrac75, \ M\left(1,\tfrac{14}{5},-\tfrac75\right)\;}

\boxed{\;d(P,r) = \frac{\sqrt{30}}{5}\approx1{,}10; \qquad P' = 2M-P = \left(0,\tfrac{13}{5},-\tfrac95\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta ya viene en paramétricas: el director se lee directamente,

\vec{u} = (0,-2,1)

, y un punto es

A(1,0,0)

a) Plano perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ su normal es $\vec{u}$ .
b) El plano de a) corta a $r$ en el pie $M$ de la perpendicular. Con él salen las dos cosas de golpe:

d(P,r) = \bigl|\vec{PM}\bigr| \qquad P' = 2M-P

(La fórmula $d = \frac{|\vec{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}$ sirve de comprobación independiente.)

Desarrollo

Datos de la recta.

\vec{u} = (0,\, -2,\, 1) \qquad A(1,\,0,\,0)\in r

a) El plano perpendicular por $P(2,3,-1)$ . Su normal es

\vec{u}

0\,(x-2)-2\,(y-3)+1\,(z+1) = 0

-2y+6+z+1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2y-z-7 = 0

Comprobación con

P

\;6+1-7 = 0

\;\checkmark

b) El pie de la perpendicular. Punto genérico de

r

Q(\lambda) = (1,\; -2\lambda,\; \lambda)

Sustituyendo en el plano

2y-z-7 = 0

2\,(-2\lambda)-\lambda-7 = -5\lambda-7 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac75

M = \left(1,\; \frac{14}{5},\; -\frac75\right)

La distancia.

\vec{PM} = M-P = \left(1-2,\; \frac{14}{5}-3,\; -\frac75+1\right) = \left(-1,\; -\frac15,\; -\frac25\right)

\bigl|\vec{PM}\bigr|^{2} = 1+\frac{1}{25}+\frac{4}{25} = 1+\frac{5}{25} = \frac65

d(P,r) = \sqrt{\frac65} = \frac{\sqrt{30}}{5} \approx 1{,}10

Comprobación con el producto vectorial.

\;\vec{AP} = P-A = (1,3,-1)

\vec{AP}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right| = (3-2,\; -(1-0),\; -2-0) = (1,\, -1,\, -2)

d = \frac{\bigl|\vec{AP}\times\vec{u}\bigr|}{\bigl|\vec{u}\bigr|} = \frac{\sqrt{1+1+4}}{\sqrt{0+4+1}} = \frac{\sqrt6}{\sqrt5} = \frac{\sqrt{30}}{5} \;\checkmark

El simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

P' = 2M-P = \left(2-2,\; \frac{28}{5}-3,\; -\frac{14}{5}+1\right) = \left(0,\; \frac{13}{5},\; -\frac95\right)

Comprobación.

\;\vec{PM}\cdot\vec{u} = 0\,(-1)+(-2)\left(-\frac15\right)+1\left(-\frac25\right) = \frac25-\frac25 = 0

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando la recta viene en paramétricas, no la conviertas a implícitas: el director y un punto se leen directamente. Aquí $\vec{u} = (0,-2,1)$ sale de los coeficientes de $\lambda$ .

El plano de a) no es decorativo: es la herramienta que da el pie de la perpendicular en b). Los dos apartados están pensados para encadenarse.

Tienes dos caminos para la distancia (el pie $M$ o el producto vectorial). Haz uno y usa el otro como comprobación: si no coinciden, el error está en $\lambda$ .