Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 8. Considera el punto

A(0, 1, -2)

y los planos

\pi_{1} \equiv 2x - y - z + 5 = 0

\pi_{2} \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de

A

respecto del plano

\pi_{1}

.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por

A

y es paralela a los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad M(-2,\,2,\,-1) \;\Longrightarrow\; A' = 2M - A = (-4,\; 3,\; 0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (11,11,11)\parallel(1,1,1); \qquad r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos construcciones clásicas, cada una con su herramienta.

En a), el simétrico

A'

se obtiene con la receta de siempre: recta perpendicular a

\pi_{1}

por

A

(dirección = vector normal del plano), pie

M

como intersección de esa recta con el plano, y

A'

tal que

M

sea el punto medio de

A

A'

.

En b), "paralela a los dos planos" significa que su vector director es perpendicular a los dos normales: sale directamente del producto vectorial

\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}

Desarrollo

a) Recta perpendicular a $\pi_{1}$ por $A$ . El normal es

\vec{n}_{1} = (2, -1, -1)

s \equiv (x, y, z) = (0, 1, -2) + t\,(2, -1, -1) = \bigl(2t,\; 1 - t,\; -2 - t\bigr)

Pie de la perpendicular. Sustituimos en

\pi_{1}

2\,(2t) - (1 - t) - (-2 - t) + 5 = 0

4t - 1 + t + 2 + t + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; 6t + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

M = \bigl(-2,\; 2,\; -1\bigr)

(Comprobación: $2(-2) - 2 - (-1) + 5 = -4 - 2 + 1 + 5 = 0\;\checkmark$ )

Simétrico.

M

es el punto medio de

A

A'

, luego

A' = 2M - A

A' = \bigl(2\cdot(-2) - 0,\;\; 2\cdot 2 - 1,\;\; 2\cdot(-1) - (-2)\bigr) = (-4,\; 3,\; 0)

(También se llega duplicando el parámetro: en $t = 2\cdot(-1) = -2$ , la recta $s$ da $(-4, 3, 0)$ .)

b) Dirección de la recta. Debe ser perpendicular a

\vec{n}_{1} = (2,-1,-1)

y a

\vec{n}_{2} = (1, 5, -6)

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & -6\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(-6) - (-1)(5) = 6 + 5 = 11

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(-6) - (-1)(1)\Bigr] = -(-12 + 1) = 11

\vec{k}: \; (2)(5) - (-1)(1) = 10 + 1 = 11

\vec{v} = (11,\, 11,\, 11) \;\parallel\; (1,\, 1,\, 1)

(Los planos no son paralelos entre sí —sus normales no son proporcionales—, así que el producto vectorial no es nulo y la dirección existe.)

Ecuación de la recta. Pasa por

A(0,1,-2)

con dirección

(1,1,1)

r \equiv (x, y, z) = (0, 1, -2) + \lambda\,(1, 1, 1) = \bigl(\lambda,\; 1 + \lambda,\; -2 + \lambda\bigr)

o en forma continua

r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}

Comprobación del paralelismo.

\vec{v}\cdot\vec{n}_{1} = 1\cdot 2 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 0 \quad \checkmark

\vec{v}\cdot\vec{n}_{2} = 1\cdot 1 + 1\cdot 5 + 1\cdot(-6) = 0 \quad \checkmark

Además

A

no pertenece a ninguno de los dos planos (

2\cdot 0 - 1 + 2 + 5 = 6 \neq 0

;

0 + 5 + 12 - 4 = 13 \neq 0

), así que la recta es paralela a ambos y no está contenida en ellos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), el error más caro es confundir el pie con el simétrico: $M$ está a mitad de camino. Si respondes $(-2,2,-1)$ has hecho todo el trabajo y has perdido el punto por no dar el último paso, $A' = 2M - A$ .

En b), "paralela a los dos planos" no significa que el director sea la suma de los normales ni ninguno de ellos: significa que es perpendicular a ambos, y eso lo da el producto vectorial. Y simplifica el vector obtenido — $(11,11,11)$ es $(1,1,1)$ — para que la ecuación quede limpia; comprobar que los dos productos escalares son cero cuesta cinco segundos y te asegura el apartado.