Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera la recta

r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}

y los planos

\pi_{1} \equiv x = 0

\pi_{2} \equiv y = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla los puntos de la recta

r

que equidistan de los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

.

b) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de la recta

r

y la recta intersección de los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P(t) = (2-t,\; 2+3t,\; 1+t); \qquad d(P,\pi_1) = |2-t|, \quad d(P,\pi_2) = |2+3t|\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad |2-t| = |2+3t| \Longrightarrow t = 0 \text{ o } t = -2: \quad (2,2,1) \text{ y } (4,-4,-1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad s = \text{eje } OZ; \;\; \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = -8 \neq 0 \;\Longrightarrow\; r \text{ y } s \text{ se cruzan}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos planos son los planos coordenados

YZ

(

x=0

) y

XZ

(

y=0

), lo que simplifica mucho las cuentas: la distancia de un punto

(x_{0},y_{0},z_{0})

a ellos es simplemente

|x_{0}|

|y_{0}|

, porque los vectores normales

(1,0,0)

(0,1,0)

son unitarios.

En a) se parametriza

r

, se imponen esas dos distancias iguales y se resuelve la ecuación con valores absolutos, que se desdobla en dos casos.

En b), la intersección de

\pi_{1}

\pi_{2}

es el eje $OZ$ . Posición relativa por el esquema habitual: paralelismo primero y producto mixto después.

Desarrollo

Parametrización de $r$ . Punto

R(2,2,1)

, director

\vec{u} = (-1,3,1)

P(t) = \bigl(2 - t,\; 2 + 3t,\; 1 + t\bigr)

a) Distancias a los planos coordenados.

d(P, \pi_{1}) = \frac{|x_{0}|}{\sqrt{1}} = |2 - t|, \qquad d(P, \pi_{2}) = \frac{|y_{0}|}{\sqrt{1}} = |2 + 3t|

Ecuación.

|2 - t| = |2 + 3t|

Caso 1:

\;2 - t = 2 + 3t \;\Longrightarrow\; -4t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0

P_{1} = (2,\, 2,\, 1)

Caso 2:

\;2 - t = -(2 + 3t) \;\Longrightarrow\; 2 - t = -2 - 3t \;\Longrightarrow\; 2t = -4 \;\Longrightarrow\; t = -2

P_{2} = \bigl(2+2,\; 2-6,\; 1-2\bigr) = (4,\, -4,\, -1)

Comprobación. En

P_{1}

|2| = |2|\;\checkmark

. En

P_{2}

|4| = |-4|\;\checkmark

b) La recta intersección.

s \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0\end{cases}

es el eje $OZ$ : pasa por el origen

S(0,0,0)

y tiene director

\vec{v} = (0,0,1)

.

¿Paralelas?

\vec{u} = (-1,3,1)

\vec{v} = (0,0,1)

no son proporcionales (las dos primeras componentes de

\vec{u}

no son nulas). No son paralelas.

Producto mixto.

\vec{RS} = S - R = (-2,\, -2,\, -1)

\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -1\end{array}\right|

Desarrollando por la segunda fila (solo un elemento no nulo, en posición

(2,3)

, con signo

-

= -1\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ -2 & -2\end{array}\right| = -1\,\bigl(2 + 6\bigr) = -8 \neq 0

Los tres vectores no son coplanarios, luego

r \text{ y } s \textbf{ se cruzan}

(Se puede confirmar directamente: para que $r$ cortase al eje $OZ$ tendría que existir un $t$ con $2-t = 0$ y $2+3t = 0$ a la vez, es decir $t = 2$ y $t = -\tfrac23$ . Imposible.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce los planos: $x=0$ y $y=0$ son planos coordenados, y su intersección es el eje $OZ$ . Verlo de inmediato ahorra montar un sistema y te da el punto $(0,0,0)$ y el director $(0,0,1)$ gratis.

Como los normales $(1,0,0)$ y $(0,1,0)$ son unitarios, las distancias son simplemente $|x_{0}|$ e $|y_{0}|$ : no hace falta dividir por ningún módulo. Pero no te saltes el valor absoluto — es lo que produce los dos puntos solución, y quedarse solo con $t=0$ es la respuesta incompleta típica.

En b), descarta el paralelismo antes del producto mixto: si los directores fueran proporcionales, un mixto nulo significaría "paralelas", no "se cortan".