Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Halla cada uno de los puntos de la recta

r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0\end{cases}

de manera que junto con los puntos

A(1,1,0)

B(1,0,1)

C(0,1,1)

formen un tetraedro de volumen

\dfrac{5}{6}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r \equiv x = y = z \;\Longrightarrow\; D(t) = (t,t,t)\;}

\boxed{\;\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = 2 - 3t; \qquad V = \frac{|2-3t|}{6} = \frac{5}{6} \Longrightarrow |2-3t| = 5\;}

\boxed{\;D_{1} = (-1,-1,-1) \qquad \text{y} \qquad D_{2} = \left(\tfrac73, \tfrac73, \tfrac73\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El volumen de un tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que salgan del mismo vértice:

V = \frac{1}{6}\Bigl|\bigl[\vec{AB},\, \vec{AC},\, \vec{AD}\bigr]\Bigr|

Aquí

D

es el punto incógnita, que hay que parametrizar a partir de la recta. Las dos ecuaciones dicen

x = y

y = z

, así que la recta es simplemente

D = (t,\, t,\, t)

la bisectriz del primer octante. Al imponer el volumen aparecerá un valor absoluto, que da lugar a dos soluciones.

Desarrollo

Parametrización de $r$ . De

x = y

y = z

D(t) = (t,\, t,\, t), \qquad t \in \mathbb{R}

Aristas desde $A$ .

\vec{AB} = (0,\, -1,\, 1), \qquad \vec{AC} = (-1,\, 0,\, 1), \qquad \vec{AD} = (t-1,\, t-1,\, t)

Producto mixto.

\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ t-1 & t-1 & t\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 0\cdot\bigl[\ldots\bigr] + 1\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ t-1 & t\end{array}\right| + 1\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ t-1 & t-1\end{array}\right|

= \bigl[-t - (t-1)\bigr] + \bigl[-(t-1) - 0\bigr] = (1 - 2t) + (1 - t) = 2 - 3t

Condición del volumen.

V = \frac{|2 - 3t|}{6} = \frac{5}{6} \;\Longrightarrow\; |2 - 3t| = 5

Caso 1:

\;2 - 3t = 5 \Longrightarrow -3t = 3 \Longrightarrow t = -1

D_{1} = (-1,\, -1,\, -1)

Caso 2:

\;2 - 3t = -5 \Longrightarrow -3t = -7 \Longrightarrow t = \dfrac{7}{3}

D_{2} = \left(\frac{7}{3},\, \frac{7}{3},\, \frac{7}{3}\right)

Comprobación. Con

t = -1

\;2 - 3(-1) = 5

V = \tfrac56\;\checkmark

. Con

t = \tfrac73

\;2 - 7 = -5

V = \tfrac{|-5|}{6} = \tfrac56\;\checkmark

(Además ninguno de los dos anula el mixto, así que en ambos casos los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe de verdad.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee la recta antes de parametrizar. $x-y=0$ e $y-z=0$ significan $x=y=z$ : la recta es la bisectriz $(t,t,t)$ . Montar el producto vectorial de los normales también funciona, pero aquí es dar un rodeo.

No olvides el $\frac16$ del tetraedro: el módulo del producto mixto solo da el volumen del paralelepípedo. Es el error más repetido de este tipo de ejercicio.

Y el enunciado dice "cada uno de los puntos", en plural: el valor absoluto siempre produce dos casos, y hay que resolver los dos. Quedarse con uno pierde la mitad del ejercicio aunque el método sea impecable.