Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

A(1,-2,1)

y la recta

r

definida por las ecuaciones

r \equiv \begin{cases} x+y = 2 \\ 2x+y+z = 7\end{cases}

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a

r

que pasa por

A

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia del punto

A

a la recta

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,-1,-1), \quad P_{0}(5,-3,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } (x-1)-(y+2)-(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x-y-z-2 = 0\;}

\boxed{\;\vec{P_{0}A} = (-4,1,1), \qquad \vec{P_{0}A}\times\vec u = (0,-3,3)\;}

\boxed{\;d(A,r) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt3} = \sqrt6 \approx 2{,}45\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El director de $r$ se obtiene como producto vectorial de los normales de sus dos planos, y ese director es el normal del plano pedido.
b) Dos caminos:

1. Fórmula del producto vectorial:

\;d = \dfrac{\bigl|\vec{P_{0}A}\times\vec u\bigr|}{|\vec u|}

,
2. Pie de la perpendicular: cortar el plano de a) con

r

y medir.

Usamos el primero, que es más rápido, y el plano de a) queda como comprobación conceptual.

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,1,0)

\vec{n_{2}} = (2,1,1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec i: (1)(1)-(0)(1) = 1 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(1)-(0)(2)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (1)(1)-(1)(2) = -1

\vec u = (1,\, -1,\, -1)

Un punto de $r$ . Con

z = 0

\begin{cases} x+y = 2 \\ 2x+y = 7\end{cases} \;\Longrightarrow\; x = 5, \quad y = -3

P_{0}(5,\,-3,\,0)

(Comprobación: $\;5-3 = 2$ $\checkmark$ y $\;10-3+0 = 7$ $\checkmark$ )

a) El plano perpendicular a $r$ por $A(1,-2,1)$ . Su normal es

\vec u

1\,(x-1)-1\,(y+2)-1\,(z-1) = 0

x-1-y-2-z+1 = 0 \;\Longrightarrow\; x-y-z-2 = 0

Comprobación con

A

\;1+2-1-2 = 0

\;\checkmark

b) La distancia de $A$ a $r$ .

\vec{P_{0}A} = A-P_{0} = (1-5,\; -2+3,\; 1-0) = (-4,\; 1,\; 1)

\vec{P_{0}A}\times\vec u = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right|

\vec i: (1)(-1)-(1)(-1) = 0 \qquad \vec j: -\bigl[(-4)(-1)-(1)(1)\bigr] = -3 \qquad \vec k: (-4)(-1)-(1)(1) = 3

\vec{P_{0}A}\times\vec u = (0,\, -3,\, 3) \;\Longrightarrow\; \bigl|\vec{P_{0}A}\times\vec u\bigr| = \sqrt{0+9+9} = 3\sqrt2

\bigl|\vec u\bigr| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt3

d(A,r) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt3} = \frac{3\sqrt2\cdot\sqrt3}{3} = \sqrt6 \approx 2{,}449

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el plano perpendicular a una recta, el normal es el director de la recta. Ese director sale del producto vectorial de los normales de los dos planos que definen $r$ .

La fórmula $d = \frac{|\vec{P_{0}A}\times\vec u|}{|\vec u|}$ es la vía rápida. La alternativa (pie de la perpendicular) da lo mismo, pero exige resolver una ecuación más.

Racionaliza al final: $\frac{3\sqrt2}{\sqrt3} = \sqrt6$ . Dejar la raíz en el denominador no es incorrecto, pero la forma simplificada es la que aparece en los criterios de corrección.