Opción A · Ejercicio 4. Considera los vectores \vec{u} = (1,-1,0), \vec{v} = (0,1,2), \vec{w} = (1+\alpha,\; 2\alpha,\; 2-3\alpha). Halla los valores de \alpha en cada uno de los siguientes casos: a) [1 punto] \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} están en el mismo plano. b) [0,5 puntos] \vec{w} es perpendicular a \vec{u} y a \vec{v}. c) [1 punto] El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} es \dfrac{1}{6}.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los vectores

\vec{u} = (1,-1,0)

\vec{v} = (0,1,2)

\vec{w} = (1+\alpha,\; 2\alpha,\; 2-3\alpha)

. Halla los valores de

\alpha

en cada uno de los siguientes casos:

a) [1 punto]

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

están en el mismo plano.

b) [0,5 puntos]

\vec{w}

es perpendicular a

\vec{u}

y a

\vec{v}

.

c) [1 punto] El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

\dfrac{1}{6}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl[\vec u,\vec v,\vec w\bigr] = -9\alpha\;}

\boxed{\;\text{a) Coplanarios} \iff -9\alpha = 0 \iff \alpha = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec w\cdot\vec u = 1-\alpha = 0 \ \text{ y } \ \vec w\cdot\vec v = 4-4\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1\;}

\boxed{\;\text{c) } \frac{\lvert-9\alpha\rvert}{6} = \frac16 \;\Longrightarrow\; \alpha = \pm\frac19\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados giran alrededor del producto mixto

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = \det\bigl(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr)

a) Coplanarios $\iff$ producto mixto nulo.
b) Perpendicularidad: dos productos escalares nulos, $\vec{w}\cdot\vec{u} = 0$ y $\vec{w}\cdot\vec{v} = 0$ . Hay que comprobar que las dos ecuaciones son compatibles.
c) Volumen del tetraedro $= \dfrac{1}{6}\bigl\lvert[\vec u,\vec v,\vec w]\bigr\rvert$ (la sexta parte del paralelepípedo). El valor absoluto da dos soluciones.

Con calcular el determinante una vez se resuelven a) y c).

Desarrollo

El producto mixto.

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1+\alpha \\ -1 & 1 & 2\alpha \\ 0 & 2 & 2-3\alpha\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl[(1)(2-3\alpha)-(2\alpha)(2)\bigr]-0+(1+\alpha)\bigl[(-1)(2)-(1)(0)\bigr]

= \bigl(2-3\alpha-4\alpha\bigr)+(1+\alpha)(-2) = 2-7\alpha-2-2\alpha = -9\alpha

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = -9\alpha

a) Coplanarios.

-9\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 0

(Con $\alpha=0$ : $\vec{w} = (1,0,2) = \vec{u}+\vec{v}$ , efectivamente combinación lineal de los otros dos.)

b) $\vec{w}$ perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ .

\vec{w}\cdot\vec{u} = (1+\alpha)(1)+(2\alpha)(-1)+(2-3\alpha)(0) = 1+\alpha-2\alpha = 1-\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1

\vec{w}\cdot\vec{v} = 0+2\alpha+2\,(2-3\alpha) = 2\alpha+4-6\alpha = 4-4\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 1

Las dos ecuaciones dan el mismo valor, así que la respuesta es válida:

\alpha = 1 \qquad (\vec{w} = (2,\, 2,\, -1))

Comprobación.

\;(2,2,-1)\cdot(1,-1,0) = 2-2 = 0\;\checkmark

\;(2,2,-1)\cdot(0,1,2) = 2-2 = 0\;\checkmark

c) Volumen del tetraedro igual a $\frac16$ .

V = \frac{1}{6}\bigl\lvert[\vec u,\vec v,\vec w]\bigr\rvert = \frac{\lvert-9\alpha\rvert}{6} = \frac{1}{6}

\lvert-9\alpha\rvert = 1 \;\Longrightarrow\; 9\lvert\alpha\rvert = 1 \;\Longrightarrow\; \alpha = \pm\frac{1}{9}

\alpha = \frac19 \quad \text{o} \quad \alpha = -\frac19

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El producto mixto se calcula una sola vez y sirve para a) y c). Es el ahorro clave del ejercicio.

El volumen del tetraedro es $\frac16$ del producto mixto, no $\frac13$ ni el producto mixto entero (eso sería el paralelepípedo). Confundir el factor es el error más caro de c).

En b) hay dos condiciones. Que ambas den $\alpha=1$ no está garantizado de antemano: si hubieran dado valores distintos, la respuesta sería "no existe". Resuélvelas las dos.