Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

P(1,0,5)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} y + 2z = 0 \\ \phantom{y + 2}x = 1\end{cases}

a) [1 punto] Determina la ecuación del plano que pasa por

P

y es perpendicular a

r

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia de

P

a la recta

r

y el punto simétrico de

P

respecto a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (0,2,-1), \qquad R(1,0,0)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad 2y - z + 5 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad Q(1,-2,1); \quad d(P,r) = 2\sqrt5 \approx 4{,}47; \quad P' = 2Q - P = (1,\, -4,\, -3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta viene como intersección de dos planos, así que su director es el producto vectorial de los normales.

a) Plano perpendicular a $r$ $\Longrightarrow$ su normal es ese director. Se hace pasar por $P$ .
b) Se parametriza la recta, se impone $\vec{QP}\perp\vec{u}$ para hallar el pie $Q$ , y de ahí salen las dos cosas a la vez: la distancia es $\lVert\vec{QP}\rVert$ y el simétrico es $P' = 2Q - P$ .

Ese camino evita usar la fórmula del producto vectorial para la distancia.

Desarrollo

Elementos de la recta. Los normales son

\vec{n}_{1} = (0,1,2)

\vec{n}_{2} = (1,0,0)

\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(0) - (2)(0) = 0 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(0)(0) - (2)(1)\bigr] = 2 \qquad \vec{k}: \; (0)(0) - (1)(1) = -1

\vec{u} = (0,\, 2,\, -1)

Un punto: con

z = 0

queda

y = 0

, y

x = 1

R(1,\, 0,\, 0) \in r

a) Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su normal es

\vec{u} = (0,2,-1)

0\,(x-1) + 2\,(y-0) - 1\,(z-5) = 0 \;\Longrightarrow\; 2y - z + 5 = 0

(Comprobación: $P(1,0,5)$ da $0 - 5 + 5 = 0\;\checkmark$ )

b) Pie de la perpendicular. Un punto genérico de

r

Q(t) = R + t\,\vec{u} = \bigl(1,\; 2t,\; -t\bigr)

\vec{QP} = P - Q = \bigl(0,\; -2t,\; 5+t\bigr)

Imponemos

\vec{QP}\cdot\vec{u} = 0

0 + (-2t)(2) + (5+t)(-1) = -4t - 5 - t = -5t - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

Q = \bigl(1,\; -2,\; 1\bigr)

La distancia.

\vec{QP} = P - Q = (0,\, 2,\, 4)

d(P, r) = \bigl\lVert\vec{QP}\bigr\rVert = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \ \text{unidades}

El simétrico.

P' = 2Q - P = \bigl(2-1,\; -4-0,\; 2-5\bigr) = (1,\, -4,\, -3)

Comprobación.

\vec{PQ} = (0,-2,-4)

\vec{QP'} = (0,-2,-4)

coinciden, así que

Q

es el punto medio

\checkmark

; y

Q

está en el plano de a):

\;-4 - 1 + 5 = 0\;\checkmark

(lógico, porque ese plano corta a

r

justo en el pie).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Hallar el pie $Q$ resuelve los dos apartados de b) de una vez: la distancia es $\lVert\vec{QP}\rVert$ y el simétrico es $2Q - P$ . Usar la fórmula del producto vectorial para la distancia y luego repetir el proceso para el simétrico es hacer el trabajo dos veces.

Perpendicular a $r$ significa que el normal del plano es el director de la recta. No lo confundas con "plano que contiene a $r$ ", donde el normal sería ortogonal a $\vec{u}$ .

Buena comprobación: el pie $Q$ tiene que estar en el plano del apartado a), porque ese plano es precisamente el perpendicular a $r$ que pasa por $P$ , y corta a la recta justo en el pie.