Ejercicio 8 (bloque D). Considera los puntos A(1,1,2), B(1,0,1) y C(1,-1,2). a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices A, B y C. b) [1,25 puntos] Calcula D para que los puntos A, B, C y D sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque D). Considera los puntos

A(1,1,2)

B(1,0,1)

C(1,-1,2)

.

a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices

A

B

C

.

b) [1,25 puntos] Calcula

D

para que los puntos

A

B

C

D

sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad S_{ABC} = 1 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad D = A - B + C = (1,\ 0,\ 3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados. Un detalle que conviene notar de entrada: los tres puntos tienen $x=1$ , así que están en el plano

x=1

y el producto vectorial saldrá en la dirección del eje

OX

.

En b) la palabra clave es consecutivos: el paralelogramo es

ABCD

recorrido en ese orden, luego los lados

AB

DC

son paralelos e iguales:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \;\Longrightarrow\; B - A = C - D \;\Longrightarrow\; D = A + C - B

Si se olvida el orden y se plantea

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

, sale otro punto (uno de los otros dos paralelogramos posibles) y el apartado se pierde.

Desarrollo

a) Área del triángulo.

\overrightarrow{AB} = B - A = (0,\ -1,\ -1), \qquad \overrightarrow{AC} = C - A = (0,\ -2,\ 0)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \end{array}\right| = \bigl((-1)\cdot 0 - (-1)(-2)\bigr)\vec{i} - \bigl(0 - 0\bigr)\vec{j} + \bigl(0 - 0\bigr)\vec{k} = (-2,\ 0,\ 0)

\bigl\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\rVert = 2

S = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1 \ \text{unidad cuadrada}

(Coherente con que los tres puntos estén en el plano $x=1$ : el producto vectorial es perpendicular a ese plano, es decir, paralelo al eje $OX$ .)

b) El cuarto vértice. Que

A

B

C

D

sean vértices consecutivos significa que los lados son

AB

BC

CD

DA

; en un paralelogramo, los lados opuestos

AB

DC

son equipolentes:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \;\Longrightarrow\; B - A = C - D \;\Longrightarrow\; D = A - B + C

D = (1,1,2) - (1,0,1) + (1,-1,2) = (1,\ 0,\ 3)

Comprobaciones.

\overrightarrow{AB} = (0,-1,-1) \qquad \overrightarrow{DC} = C - D = (1,-1,2) - (1,0,3) = (0,-1,-1) \quad\text{(iguales)}

\overrightarrow{AD} = D - A = (0,-1,1) \qquad \overrightarrow{BC} = C - B = (0,-1,1) \quad\text{(iguales)}

Los dos pares de lados opuestos son paralelos y de la misma longitud:

ABCD

es un paralelogramo. Su área es el doble de la del triángulo, es decir

2

unidades cuadradas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Vértices consecutivos" fija el orden del recorrido: la condición es $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , de donde $D = A - B + C$ . Con tres puntos hay tres paralelogramos posibles según cuál sea la diagonal; el enunciado elige uno y hay que respetarlo.

Truco de comprobación: en un paralelogramo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ tienen el mismo punto medio. Aquí el de $AC$ es $(1,0,2)$ y el de $BD$ es $(1,0,2)$ : cuadra. Son cinco segundos y confirman que has elegido bien el vértice.