Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

r

la recta definida por

\begin{cases} x = 1+\lambda \\ y = 1+\lambda \\ z = \phantom{1+}\lambda\end{cases}

s

la recta dada por

\dfrac{x-1}{-2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{-2}

.

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: A(1,1,0),\ \vec{u} = (1,1,1); \qquad s: B(1,0,1),\ \vec{v} = (-2,1,-2)\;}

\boxed{\;\vec{u}\times\vec{v} = (-3,0,3) \neq \vec0, \quad \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = 3 \neq 0 \Rightarrow \text{se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{a) } P\left(\tfrac12,\tfrac12,-\tfrac12\right), \ Q\left(0,\tfrac12,0\right): \quad \{y = \tfrac12,\; x+z = 0\}\;}

\boxed{\;\text{b) } d(r,s) = \frac{3}{3\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Perpendicular común entre dos rectas que se cruzan:

Punto y director de cada una.
Comprobar que se cruzan: directores no proporcionales y producto mixto no nulo.
Tomar $P\in r$ y $Q\in s$ genéricos e imponer que $\vec{PQ}$ sea perpendicular a los dos directores: $\;\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ y $\vec{PQ}\cdot\vec{v} = 0$ . Dos ecuaciones, dos parámetros.
La recta pedida pasa por $P$ con dirección $\vec{PQ}$ , y $\lVert\vec{PQ}\rVert$ es la distancia.

Desarrollo

Datos.

r: \; A(1,\,1,\,0), \quad \vec{u} = (1,\, 1,\, 1) \qquad\qquad s: \; B(1,\,0,\,1), \quad \vec{v} = (-2,\, 1,\, -2)

¿Se cruzan?

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & -2\end{array}\right| = (-3,\, 0,\, 3) \neq \vec{0}

\vec{AB} = (0,\, -1,\, 1) \qquad \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = \vec{AB}\cdot(-3,0,3) = 0+0+3 = 3 \neq 0

\textbf{Se cruzan}

a) La perpendicular común. Puntos genéricos:

P(\lambda) = (1+\lambda,\; 1+\lambda,\; \lambda) \qquad Q(\mu) = (1-2\mu,\; \mu,\; 1-2\mu)

\vec{PQ} = \bigl(-2\mu-\lambda,\; \mu-1-\lambda,\; 1-2\mu-\lambda\bigr)

Perpendicular a $\vec{u} = (1,1,1)$ :

(-2\mu-\lambda)+(\mu-1-\lambda)+(1-2\mu-\lambda) = -3\mu-3\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \mu = -\lambda

Perpendicular a $\vec{v} = (-2,1,-2)$ :

-2(-2\mu-\lambda)+(\mu-1-\lambda)-2(1-2\mu-\lambda) = 4\mu+2\lambda+\mu-1-\lambda-2+4\mu+2\lambda

= 9\mu+3\lambda-3 = 0

Sustituyendo

\mu = -\lambda

\;-9\lambda+3\lambda-3 = -6\lambda-3 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac12

, y

\mu = \frac12

.

Los pies.

P = \left(\frac12,\; \frac12,\; -\frac12\right) \qquad Q = \left(0,\; \frac12,\; 0\right)

\vec{PQ} = \left(-\frac12,\; 0,\; \frac12\right) \;\sim\; (-1,\, 0,\, 1)

(En efecto es proporcional a $\vec{u}\times\vec{v} = (-3,0,3)$ $\checkmark$ )

La recta perpendicular común, por

P

con dirección

(1,0,-1)

\begin{cases} x = \frac12+\nu \\ y = \frac12 \\ z = -\frac12-\nu\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} y = \frac12 \\ x+z = 0\end{cases}

b) La distancia.

d(r,s) = \lVert\vec{PQ}\rVert = \sqrt{\frac14+0+\frac14} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71

Comprobación con el producto mixto.

d(r,s) = \frac{\bigl\lvert\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]\bigr\rvert}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert} = \frac{3}{\sqrt{9+0+9}} = \frac{3}{3\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de nada, comprueba que se cruzan: si se cortasen, la perpendicular común pasaría por el punto de corte y la distancia sería $0$ ; si fuesen paralelas, habría infinitas perpendiculares comunes.

Imponer $\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ y $\vec{PQ}\cdot\vec{v} = 0$ da un sistema $2\times2$ muy manejable. Como control, $\vec{PQ}$ debe salir proporcional a $\vec{u}\times\vec{v}$ : si no lo es, hay un error en los parámetros.

Calcula la distancia por los dos caminos ( $\lVert\vec{PQ}\rVert$ y el producto mixto). Que coincidan valida a la vez el apartado a) y el b).