Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Julio

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Sean el plano

\pi \equiv x + y - z = 2

y la recta

r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1

a) [0,75 puntos] Calcula, si existe, el punto de intersección de

\pi

r

.

b) [1,75 puntos] Dado el punto

Q(2, 6, 3)

, halla su simétrico respecto del plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad r \cap \pi = P(1,\, 3,\, 2)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad Q'(0,\, 4,\, 5), \quad \text{con pie de la perpendicular } M(1,\, 5,\, 4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el camino más corto es parametrizar la recta y sustituir en la ecuación del plano: queda una ecuación de primer grado en el parámetro. Si tiene solución única, se cortan en un punto; si no la tiene, son paralelos; si se cumple para todo valor, la recta está contenida en el plano.

En b) hay dos métodos. El clásico (trazar la perpendicular por

Q

, hallar el pie y duplicar) y el abreviado, que es el mismo razonamiento en una sola fórmula:

Q' = Q - 2\,\frac{Q\cdot\vec{n} + d}{\lVert\vec{n}\rVert^{2}}\,\vec{n}

para el plano

Ax+By+Cz+d = 0

con

\vec{n} = (A,B,C)

. Aquí las cuentas son especialmente amables porque el cociente vale exactamente

1

Desarrollo

Parametrización de $r$ . De

x = \dfrac{y}{3} = z - 1 = t

r \equiv (x, y, z) = (t,\, 3t,\, 1 + t), \qquad \vec{d}_{r} = (1, 3, 1)

a) Intersección con $\pi$ . Sustituyendo en

x + y - z = 2

t + 3t - (1 + t) = 2 \;\Longrightarrow\; 3t - 1 = 2 \;\Longrightarrow\; t = 1

Hay solución única, así que la recta corta al plano en un punto:

P = \bigl(1,\, 3,\, 2\bigr)

(Comprobación: $1 + 3 - 2 = 2\;\checkmark$ . Y era previsible que se cortaran, porque $\vec{d}_{r}\cdot\vec{n} = 1 + 3 - 1 = 3 \neq 0$ .)

b) Simétrico de $Q(2,6,3)$ . Escribimos el plano como

x + y - z - 2 = 0

, con

\vec{n} = (1,1,-1)

\lVert\vec{n}\rVert^{2} = 3

.

Valor del plano en $Q$ :

2 + 6 - 3 - 2 = 3

Aplicando la fórmula:

Q' = Q - 2\cdot\frac{3}{3}\,\vec{n} = (2, 6, 3) - 2\,(1, 1, -1) = (2 - 2,\; 6 - 2,\; 3 + 2) = (0,\, 4,\, 5)

Comprobación por el método largo. La recta perpendicular a

\pi

por

Q

(2 + \mu,\; 6 + \mu,\; 3 - \mu)

Su corte con el plano:

\;(2+\mu) + (6+\mu) - (3-\mu) - 2 = 0 \Longrightarrow 3 + 3\mu = 0 \Longrightarrow \mu = -1

, de donde el pie de la perpendicular es

M(1, 5, 4)

.

Como

M

debe ser el punto medio de

Q

Q'

Q' = 2M - Q = (2, 10, 8) - (2, 6, 3) = (0, 4, 5) \quad \checkmark

(Y el punto medio $(1,5,4)$ pertenece al plano: $1 + 5 - 4 = 2\;\checkmark$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de calcular la intersección, mira el producto escalar $\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}$ : si es distinto de cero, la recta y el plano se cortan seguro y la ecuación en $t$ tendrá solución única. Es una comprobación de un segundo que te dice de antemano qué esperar.

En b), sea cual sea el método, verifica el resultado: el punto medio de $Q$ y $Q'$ tiene que pertenecer al plano, y el vector $\vec{QQ'}$ tiene que ser paralelo a $\vec{n}$ . Dos comprobaciones rápidas que detectan cualquier error de signo, que es de lejos el fallo más frecuente en los simétricos.