Opción A · Ejercicio 4. Sean los planos \pi \equiv x+3y+2z-5 = 0 y \pi' \equiv -2x+y+3z+3 = 0. a) [1,5 puntos] Determina el ángulo que forman \pi y \pi'. b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro limitado por \pi y los planos coordenados.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sean los planos

\pi \equiv x+3y+2z-5 = 0

\pi' \equiv -2x+y+3z+3 = 0

.

a) [1,5 puntos] Determina el ángulo que forman

\pi

\pi'

.

b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro limitado por

\pi

y los planos coordenados.

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Resultado

\boxed{\;\vec{n}\cdot\vec{n\,}' = 7, \quad \lVert\vec{n}\rVert = \lVert\vec{n\,}'\rVert = \sqrt{14}\;}

\boxed{\;\text{a) } \cos\alpha = \frac{7}{14} = \frac12 \;\Longrightarrow\; \alpha = 60^{\circ}\;}

\boxed{\;\text{b) Cortes: } (5,0,0), \ \left(0,\tfrac53,0\right), \ \left(0,0,\tfrac52\right)\;}

\boxed{\;V = \frac16\cdot 5\cdot\frac53\cdot\frac52 = \frac{125}{36} \approx 3{,}47 \ \text{u}^{3}\;}

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Estrategia

a) El ángulo entre dos planos es el que forman sus normales (tomando el agudo, de ahí el valor absoluto):

\cos\alpha = \frac{\bigl\lvert\vec{n}\cdot\vec{n\,}'\bigr\rvert}{\lVert\vec{n}\rVert\,\lVert\vec{n\,}'\rVert}

b) El tetraedro tiene un vértice en el origen y los otros tres en los cortes de $\pi$ con los ejes. Al ser sus tres aristas en el origen mutuamente perpendiculares (van por los ejes), el volumen es

V = \frac{1}{6}\,\lvert a\,b\,c\rvert

donde

a

b

c

son las coordenadas de esos cortes.

Desarrollo

Los vectores normales.

\vec{n} = (1,\, 3,\, 2) \qquad \vec{n\,}' = (-2,\, 1,\, 3)

a) El ángulo.

\vec{n}\cdot\vec{n\,}' = (1)(-2)+(3)(1)+(2)(3) = -2+3+6 = 7

\lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14} \qquad \lVert\vec{n\,}'\rVert = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}

\cos\alpha = \frac{\lvert 7\rvert}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}

\alpha = \arccos\frac12 = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ \text{rad}

b) Los cortes de $\pi$ con los ejes. En

x+3y+2z = 5

OX \;(y=z=0): \; x = 5 \;\Longrightarrow\; P_{1}(5,\,0,\,0)

OY \;(x=z=0): \; 3y = 5 \;\Longrightarrow\; P_{2}\!\left(0,\, \frac53,\, 0\right)

OZ \;(x=y=0): \; 2z = 5 \;\Longrightarrow\; P_{3}\!\left(0,\, 0,\, \frac52\right)

El volumen. Las aristas desde el origen son

\vec{OP_{1}}

\vec{OP_{2}}

\vec{OP_{3}}

, perpendiculares dos a dos:

V = \frac{1}{6}\bigl\lvert\bigl[\vec{OP_{1}},\vec{OP_{2}},\vec{OP_{3}}\bigr]\bigr\rvert = \frac16\left\lvert\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac53 & 0 \\ 0 & 0 & \frac52\end{array}\right\rvert = \frac{1}{6}\cdot 5\cdot\frac53\cdot\frac52

V = \frac{125}{36} \approx 3{,}47 \ \text{u}^{3}

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Consejo

El ángulo entre planos se mide con sus normales, y hay que poner valor absoluto en el producto escalar: así siempre sale el ángulo agudo, que es el que se pide por convenio.

Los cortes con los ejes no son los coeficientes: en $x+3y+2z = 5$ el corte con $OY$ es $y = \frac53$ , no $5$ ni $3$ . Anula las otras dos variables y despeja.

La fórmula $V = \frac16\lvert abc\rvert$ vale porque el vértice está en el origen y las aristas van por los ejes. Es un caso particular del volumen por producto mixto; escribir el determinante diagonal deja claro de dónde sale.