Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1,25 puntos] Halla la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{RS},\vec{d}_{r},\vec{d}_{s}\bigr] = 0 \text{ y no son paralelas} \;\Longrightarrow\; \textbf{se cortan en } (0,1,0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = (0,1,0) + \mu\,(1,1,1), \quad \text{es decir } x = y - 1 = z\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para a), el guion de siempre: comprobar si los directores son proporcionales y, si no lo son, calcular el producto mixto con el vector que une un punto de cada recta.

El apartado b) depende del resultado de a), y ahí está la gracia del problema. La "recta que corta perpendicularmente a las dos" es la perpendicular común:

Si las rectas se cruzan, hay que construirla con el método largo (dos planos, o el punto genérico de cada una).
Si las rectas se cortan, la perpendicular común es simplemente la recta que pasa por el punto de corte con dirección $\vec{d}_{r} \times \vec{d}_{s}$ .

Aquí ocurre lo segundo, así que el apartado se resuelve en tres líneas.

Desarrollo

Datos de las rectas. De las paramétricas de

r

R(3,\, 1,\, -3), \qquad \vec{d}_{r} = (1,\, 0,\, -1)

Para

s

, de

z = 0

y = 1 - x

, tomando

x = t

s \equiv (t,\; 1 - t,\; 0) \;\Longrightarrow\; S(0,\, 1,\, 0), \qquad \vec{d}_{s} = (1,\, -1,\, 0)

a) ¿Son paralelas?

\vec{d}_{r} = (1,0,-1)

\vec{d}_{s} = (1,-1,0)

no son proporcionales (la segunda componente de uno es

0

y la del otro no). Descartado.

¿Son coplanarias? Con

\vec{RS} = S - R = (-3,\, 0,\, 3)

\bigl[\vec{RS},\, \vec{d}_{r},\, \vec{d}_{s}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right|

Desarrollando por la segunda columna (que tiene dos ceros):

= -(-1)\cdot\left|\begin{array}{cc} -3 & 3 \\ 1 & -1 \end{array}\right| = 1\cdot\bigl(3 - 3\bigr) = 0

El producto mixto se anula: las rectas son coplanarias. Como además no son paralelas,

r \text{ y } s \textbf{ se cortan en un punto}

Punto de corte. Igualando las paramétricas:

3 + \lambda = t, \qquad 1 = 1 - t, \qquad -3 - \lambda = 0

De la segunda,

t = 0

; de la tercera,

\lambda = -3

; y la primera lo confirma:

3 - 3 = 0 = t\;\checkmark

.

El punto de corte es

P = (0,\, 1,\, 0) = S

b) La perpendicular común. Al cortarse las rectas, la recta que corta perpendicularmente a ambas es la que pasa por

P

y es perpendicular a las dos direcciones, es decir, la que lleva la dirección

\vec{d} = \vec{d}_{r} \times \vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right|

\vec{i}: \; 0\cdot 0 - (-1)(-1) = -1 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[1\cdot 0 - (-1)\cdot 1\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: \; 1\cdot(-1) - 0\cdot 1 = -1

\vec{d} = (-1,\, -1,\, -1) \;\longrightarrow\; \text{simplificando: } (1,\, 1,\, 1)

Ecuación de la perpendicular común.

(x, y, z) = (0, 1, 0) + \mu\,(1, 1, 1) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = \mu \end{cases}

o en forma continua,

\;x = y - 1 = z

.

Comprobación:

\vec{d}\cdot\vec{d}_{r} = 1 + 0 - 1 = 0\;\checkmark

\vec{d}\cdot\vec{d}_{s} = 1 - 1 + 0 = 0\;\checkmark

, y la recta pasa por el punto común a

r

s

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Resuelve a) antes que b): la posición relativa decide el método. Si las rectas se cruzaran habría que montar la perpendicular común con planos auxiliares, pero como se cortan basta el punto de corte y el producto vectorial de los directores. Lanzarse al método largo sin mirar la posición relativa es trabajar de más.

Para el producto mixto, desarrolla por la fila o columna con más ceros. Aquí la segunda columna tiene dos, y el determinante $3\times 3$ se reduce a uno de orden $2$ de cabeza.