Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los vectores

\vec{u} = (2,3,4)

\vec{v} = (-1,-1,-1)

\vec{w} = (-1,\lambda,-5)

, siendo

\lambda

un número real.

a) [1,25 puntos] Halla los valores de

\lambda

para los que el paralelepípedo determinado por

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

tiene volumen

6

unidades cúbicas.

b) [1,25 puntos] Determina el valor de

\lambda

para el que

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

son linealmente dependientes.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = -2\lambda - 6\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad |-2\lambda-6| = 6 \;\Longrightarrow\; \lambda = -6 \text{ o } \lambda = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad -2\lambda - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el ejercicio gira en torno al producto mixto

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr]

, que se calcula una sola vez en función de

\lambda

a) El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del mixto (sin $\tfrac16$ ; ese factor es del tetraedro). El valor absoluto desdobla la ecuación en dos casos.
b) Ser linealmente dependientes equivale a que el mixto se anule.

Desarrollo

El producto mixto.

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}2 & \phantom{-}3 & \phantom{-}4 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & \phantom{-}\lambda & -5\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 2\bigl[5 + \lambda\bigr] - 3\bigl[5 - 1\bigr] + 4\bigl[-\lambda - 1\bigr]

= 10 + 2\lambda - 12 - 4\lambda - 4 = -2\lambda - 6

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\bigr] = -2\lambda - 6 = -2\,(\lambda + 3)

a) Volumen del paralelepípedo.

V = \bigl|-2\lambda - 6\bigr| = 6

Caso 1:

\;-2\lambda - 6 = 6 \Longrightarrow -2\lambda = 12 \Longrightarrow \lambda = -6

Caso 2:

\;-2\lambda - 6 = -6 \Longrightarrow -2\lambda = 0 \Longrightarrow \lambda = 0

\lambda = -6 \qquad \text{o} \qquad \lambda = 0

Comprobación. Con

\lambda = -6

: el mixto vale

12 - 6 = 6\;\checkmark

. Con

\lambda = 0

: vale

-6

, y

|-6| = 6\;\checkmark

b) Dependencia lineal. Tres vectores de

\mathbb{R}^{3}

son linealmente dependientes si y solo si su determinante se anula:

-2\lambda - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -3

(Geométricamente: con $\lambda=-3$ los tres vectores son coplanarios y el paralelepípedo se aplasta, con volumen $0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El volumen del paralelepípedo es $\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr|$ sin dividir entre 6. El $\tfrac16$ es del tetraedro. Confundirlos es el error más frecuente del bloque.

El valor absoluto da dos soluciones en a): quedarse con una pierde la mitad del apartado. Y fíjate en que $\lambda = 0$ hace el mixto igual a $-6$ , negativo pero con módulo $6$ : es perfectamente válido.

Los dos apartados son la misma cuenta con distinta condición: uno impone $|{\cdot}| = 6$ y el otro $=0$ . Calcular el mixto una sola vez y reutilizarlo ahorra la mitad del tiempo.