Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sean la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x-y = -2 \\ x-z = -3\end{cases}

y la recta

s

definida por

s \equiv \begin{cases} x = 1 \\ 2y-z = -2\end{cases}

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (1,1,1), \ A(0,2,3)\in r; \qquad \vec v = (0,1,2), \ B(1,-1,0)\in s\;}

\boxed{\;\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{AB}\bigr) = 4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;\vec n = \vec v\times\vec u = (-1,2,-1)\;}

\boxed{\;\pi\colon x-2y+z-3 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Criterio del producto mixto: si los directores no son proporcionales, se calcula $\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{AB}\bigr)$ . Cero $\Rightarrow$ se cortan; distinto de cero $\Rightarrow$ se cruzan.
b) Plano por un punto de $s$ con dos direcciones: $\vec v$ (director de $s$ ) y $\vec u$ (director de $r$ ). Normal $=\vec v\times\vec u$ .

(Que las rectas se crucen no impide que exista ese plano: es precisamente el plano que las "separa".)

Desarrollo

El director de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,-1,0)

\vec{n_{2}} = (1,0,-1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right| = (1,\, 1,\, 1)

Un punto: con

x = 0

\;y = 2

z = 3

, luego

A(0,\,2,\,3)

.

El director de $s$ . Con

\vec{m_{1}} = (1,0,0)

\vec{m_{2}} = (0,2,-1)

\vec v = \vec{m_{1}}\times\vec{m_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right| = (0,\, 1,\, 2)

Un punto: con

z = 0

\;x = 1

y = -1

, luego

B(1,\,-1,\,0)

.

a) La posición relativa.

¿Paralelas?

\;(1,1,1)

(0,1,2)

no son proporcionales (la primera componente es

1

frente a

0

\vec{AB} = B-A = (1,\; -3,\; -3)

\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{AB}\bigr) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -3\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera columna:

= 1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -3\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = (-3+6)+(2-1) = 3+1 = 4 \neq 0

\textbf{Las rectas se cruzan}

b) El plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ .

\vec n = \vec v\times\vec u = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec i: (1)(1)-(2)(1) = -1 \qquad \vec j: -\bigl[(0)(1)-(2)(1)\bigr] = 2 \qquad \vec k: (0)(1)-(1)(1) = -1

\vec n = (-1,\, 2,\, -1)

Con $B(1,-1,0)$ :

-1\,(x-1)+2\,(y+1)-1\,(z-0) = 0

-x+1+2y+2-z = 0 \;\Longrightarrow\; -x+2y-z+3 = 0

\pi\colon\; x-2y+z-3 = 0

Comprobaciones.

Otro punto de $s$ (con

z = 2

x=1

y=0

), es decir

(1,0,2)

1-0+2-3 = 0 \;\checkmark \quad (s \text{ está contenida})

El punto $A$ de $r$ :

0-4+3-3 = -4 \neq 0 \;\checkmark \quad (r \text{ es paralela, no contenida})

\vec n\cdot\vec u = -1+2-1 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El orden del estudio de posiciones relativas: ¿directores proporcionales? Si no, producto mixto con $\vec{AB}$ . Cero $\to$ se cortan; distinto de cero $\to$ se cruzan.

El plano de b) existe aunque las rectas se crucen: contiene a una y es paralelo a la otra. Es, de hecho, el plano que se usa para calcular la distancia entre rectas que se cruzan.

Cierra con dos comprobaciones: un segundo punto de $s$ cumple la ecuación (contenida) y un punto de $r$ no la cumple (paralela, no contenida).