Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

x + 2y + z = 1

.

a) [1 punto] Halla el punto de

\pi

más próximo al punto

(3,1,2)

.

b) [1,5 puntos] Determina la ecuación de un plano paralelo a

\pi

que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área

\sqrt{6}

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad Q(t) = (3+t,\, 1+2t,\, 2+t) \text{ en } \pi \Rightarrow 6t + 7 = 1 \Rightarrow t = -1: \quad (2,\, -1,\, 1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad x+2y+z = d \text{ corta en } (d,0,0),\, \left(0,\tfrac d2,0\right),\, (0,0,d); \quad \text{Área} = \frac{\sqrt6\,d^{2}}{4}\;}

\boxed{\;\frac{\sqrt6 d^{2}}{4} = \sqrt6 \Rightarrow d = \pm 2: \quad x + 2y + z = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El punto de un plano más próximo a un punto exterior es el pie de la perpendicular: se traza la recta por $P$ con dirección $\vec{n}$ y se corta con el plano.
b) Un plano paralelo a $\pi$ tiene la misma parte lineal: $x + 2y + z = d$ . Sus cortes con los ejes salen anulando dos coordenadas cada vez, y el área del triángulo que forman resulta ser proporcional a $d^{2}$ .

Ese es el punto clave: se calcula el área en función de

d

, se iguala a

\sqrt6

y se despeja.

Desarrollo

El vector normal.

\vec{n} = (1,\, 2,\, 1)

a) Recta perpendicular por $P(3,1,2)$ .

Q(t) = (3,1,2) + t\,(1,2,1) = \bigl(3+t,\; 1+2t,\; 2+t\bigr)

Corte con $\pi$ . Sustituyendo en

x+2y+z = 1

(3+t) + 2\,(1+2t) + (2+t) = 1

3 + t + 2 + 4t + 2 + t = 1 \;\Longrightarrow\; 6t + 7 = 1 \;\Longrightarrow\; t = -1

Q = (2,\, -1,\, 1)

(Comprobación: $2 - 2 + 1 = 1\;\checkmark$ )

\text{El punto de } \pi \text{ más próximo a } (3,1,2) \text{ es } (2,\, -1,\, 1)

b) Planos paralelos a $\pi$ . Tienen la forma

x + 2y + z = d

Cortes con los ejes.

OX \;(y=z=0): \; P_{1}(d,\, 0,\, 0) \qquad OY \;(x=z=0): \; P_{2}\!\left(0,\, \frac{d}{2},\, 0\right) \qquad OZ: \; P_{3}(0,\, 0,\, d)

Área del triángulo $P_{1}P_{2}P_{3}$ .

\vec{P_{1}P_{2}} = \left(-d,\; \frac d2,\; 0\right), \qquad \vec{P_{1}P_{3}} = (-d,\, 0,\, d)

\vec{P_{1}P_{2}}\times\vec{P_{1}P_{3}} = \left(\frac{d^{2}}{2},\; d^{2},\; \frac{d^{2}}{2}\right) = \frac{d^{2}}{2}\,(1,\, 2,\, 1)

(No es casualidad que salga proporcional a $\vec{n}$ : los tres puntos están en el plano.)

\bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \frac{d^{2}}{2}\sqrt{1+4+1} = \frac{d^{2}\sqrt6}{2}

\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot\frac{d^{2}\sqrt6}{2} = \frac{\sqrt6\,d^{2}}{4}

La ecuación.

\frac{\sqrt6\,d^{2}}{4} = \sqrt6 \;\Longrightarrow\; d^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; d = \pm 2

\text{Un plano válido: } \; x + 2y + z = 2

(También sirve $x+2y+z = -2$ , simétrico respecto del origen. El enunciado pide un plano, así que basta con dar uno; mencionar el otro es un plus.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"El punto de $\pi$ más próximo a $P$ " es el pie de la perpendicular, no cualquier punto del plano. Se obtiene trazando la recta con dirección $\vec{n}$ y sustituyendo en la ecuación del plano.

Los planos paralelos a $\pi$ solo cambian en el término independiente: $x+2y+z = d$ . Cambiar también los coeficientes daría un plano no paralelo.

Cuidado con los cortes: en $x+2y+z=d$ el corte con $OY$ es $y = \tfrac{d}{2}$ , no $d$ . Y como comprobación, el producto vectorial de dos lados del triángulo tiene que salir proporcional al normal del plano, porque los tres vértices están en él.