Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera la recta

r \equiv \begin{cases} \phantom{3}x - y + z = \phantom{-}1 \\ 3x \phantom{{}-{}y} - 2z = -2 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a

r

que contiene a la recta

\;-x + 1 = y = \dfrac{z - 3}{2}

.

b) [1 punto] Calcula la distancia entre la recta

r

y el plano

2x + 5y + 3z = 41

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi \equiv x - y + z - 4 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad r \perp \pi', \text{ se cortan en } Q(2,5,4) \;\Longrightarrow\; d(r, \pi') = 0\;}

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Estrategia

En a), el plano buscado contiene a la recta

s

(luego lleva su punto y su dirección) y es paralelo a

r

(luego lleva también la dirección de

r

). Con un punto y dos vectores directores, la normal sale de un producto vectorial. Al final hay que comprobar que $r$ no está contenida en el plano; si lo estuviera, "paralelo" no sería la palabra correcta.

En b) hay una sorpresa. Antes de aplicar cualquier fórmula hay que estudiar la posición relativa de la recta y el plano, y aquí resulta que el vector director de

r

y el vector normal del plano son el mismo: la recta es perpendicular al plano, lo corta, y la distancia es

0

. La fórmula de la distancia recta-plano solo tiene sentido cuando son paralelos.

Desarrollo

Vector director de $r$ .

\vec{d}_{r} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{array}\right| = \bigl(2 - 0\bigr)\vec{i} - \bigl(-2 - 3\bigr)\vec{j} + \bigl(0 + 3\bigr)\vec{k} = (2, 5, 3)

Un punto de $r$ . Con

z = 1

: de la segunda ecuación

3x = -2 + 2 = 0 \Rightarrow x = 0

; y de la primera,

0 - y + 1 = 1 \Rightarrow y = 0

. Luego

R(0, 0, 1)

r \equiv (2\lambda,\; 5\lambda,\; 3\lambda + 1)

La recta $s$ . De

-x + 1 = y = \dfrac{z-3}{2} = \mu

x = 1 - \mu, \qquad y = \mu, \qquad z = 3 + 2\mu

S(1, 0, 3), \qquad \vec{d}_{s} = (-1, 1, 2)

a) El plano. Contiene a

S

y lleva las direcciones

\vec{d}_{s}

\vec{d}_{r}

\vec{n} = \vec{d}_{s} \times \vec{d}_{r} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}\right| = \bigl(3 - 10\bigr)\vec{i} - \bigl(-3 - 4\bigr)\vec{j} + \bigl(-5 - 2\bigr)\vec{k} = (-7, 7, -7)

Dividiendo entre

-7

\;\vec{n} = (1, -1, 1)

. Imponiendo el paso por

S(1,0,3)

1(x - 1) - 1\,(y - 0) + 1\,(z - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - y + z - 4 = 0

Comprobación del paralelismo.

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n} = 2 - 5 + 3 = 0

, luego

r

es paralela al plano; y el punto

R(0,0,1)

0 - 0 + 1 - 4 = -3 \neq 0

, luego

r

no está contenida en

\pi

. Es paralela de verdad.

b) Posición relativa de $r$ y el plano $2x + 5y + 3z = 41$ . Su vector normal es

\vec{n}' = (2,5,3)

, que coincide exactamente con

\vec{d}_{r}

\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}' = 2\cdot 2 + 5\cdot 5 + 3\cdot 3 = 4 + 25 + 9 = 38 \neq 0

Como el producto escalar no es cero, la recta corta al plano. De hecho, al ser

\vec{d}_{r}

paralelo a

\vec{n}'

, la recta es perpendicular al plano.

Punto de corte. Sustituyendo la parametrización de

r

2\,(2\lambda) + 5\,(5\lambda) + 3\,(3\lambda + 1) = 41 \;\Longrightarrow\; 4\lambda + 25\lambda + 9\lambda + 3 = 41 \;\Longrightarrow\; 38\lambda = 38 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1

Q = \bigl(2,\; 5,\; 4\bigr)

(Verificación: $2\cdot 2 + 5\cdot 5 + 3\cdot 4 = 4 + 25 + 12 = 41$ .)

Como la recta y el plano tienen un punto en común,

d(r, \pi') = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado b) es una trampa deliberada: los criterios de corrección dan buena parte de los puntos por estudiar la posición relativa entre la recta y el plano. Si aplicas directamente la fórmula de la distancia tomando un punto de $r$ , obtienes un número — $\frac{38}{\sqrt{38}} = \sqrt{38}$ — que no es la distancia de la recta al plano, porque esa fórmula solo vale cuando son paralelos. Aquí la recta atraviesa el plano.

La comprobación cuesta una línea: calcula $\vec{d}_{r}\cdot\vec{n}$ . Si da cero, son paralelos (o la recta está contenida) y entonces sí tiene sentido medir; si no da cero, se cortan y la distancia es $0$ . Hazla siempre antes de calcular nada.