Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Junio

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera la recta

r \equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2}

así como la recta

s

determinada por el punto

P(1,2,3)

y el vector director

\vec{v} = (1+a,\, -a,\, 3a)

.

a) [1,5 puntos] Calcula

a

para que las rectas

r

s

se corten.

b) [1 punto] Calcula

a

para que las rectas

r

s

sean perpendiculares.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{PR}, \vec{d}_{r}, \vec{v}\bigr] = a - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 6\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{d}_{r}\cdot\vec{v} = 1 + 8a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{1}{8}\;}

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Estrategia

Los dos apartados piden condiciones distintas sobre el mismo parámetro, y no tienen por qué dar el mismo valor (de hecho, aquí no lo dan).

Cortarse es una condición de coplanariedad: los vectores $\vec{RP}$ , $\vec{d}_{r}$ y $\vec{v}$ deben ser linealmente dependientes, es decir, su producto mixto debe anularse. Después hay que descartar el caso paralelo, porque dos rectas paralelas también son coplanarias y no se cortan.
Ser perpendiculares solo involucra las direcciones: $\vec{d}_{r}\cdot\vec{v} = 0$ . Es una sola ecuación de primer grado.

Desarrollo

Datos de las rectas. De la ecuación continua de

r

R(2, 0, 1), \qquad \vec{d}_{r} = (1, -1, 2)

P(1, 2, 3), \qquad \vec{v} = (1+a,\, -a,\, 3a)

\vec{PR} = R - P = (1, -2, -2)

a) Condición de corte. Las tres direcciones deben ser coplanarias:

\bigl[\vec{PR},\, \vec{d}_{r},\, \vec{v}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1+a & -a & 3a \end{array}\right| = 0

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl(-3a + 2a\bigr) + 2\bigl(3a - 2(1+a)\bigr) - 2\bigl(-a + (1+a)\bigr)

= -a + 2\,(a - 2) - 2\,(1) = -a + 2a - 4 - 2 = a - 6

a - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 6

Hay que descartar el paralelismo. Con

a = 6

\vec{v} = (7, -6, 18)

, que no es proporcional a

\vec{d}_{r} = (1,-1,2)

(bastaría comparar

7/1 = 7

con

-6/(-1) = 6

). Luego las rectas son coplanarias y no paralelas: se cortan.

Punto de corte (comprobación opcional). En paramétricas,

r \equiv (2+t,\, -t,\, 1+2t)

s \equiv (1+7\lambda,\, 2-6\lambda,\, 3+18\lambda)

. De la segunda coordenada,

t = 6\lambda - 2

; llevándolo a la primera:

2 + 6\lambda - 2 = 1 + 7\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = -1, \qquad t = -8

y la tercera lo confirma:

1 + 2(-8) = -15 = 3 + 18(-1)

. El punto de corte es

(-6,\, 8,\, -15)

.

b) Condición de perpendicularidad.

\vec{d}_{r}\cdot\vec{v} = 1\,(1+a) + (-1)(-a) + 2\,(3a) = 1 + a + a + 6a = 1 + 8a

1 + 8a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{1}{8}

(Con ese valor, $\vec{v} = \left(\frac{7}{8}, \frac{1}{8}, -\frac{3}{8}\right)$ , o equivalentemente $(7, 1, -3)$ , y en efecto $7 - 1 - 6 = 0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Cortarse" y "ser perpendiculares" son cosas independientes: dos rectas pueden cruzarse perpendicularmente sin tocarse. Por eso los dos apartados dan valores distintos de $a$ , y eso no es un error: no busques un valor que cumpla las dos cosas a la vez.

Después de anular el producto mixto, comprueba que no son paralelas. El determinante nulo solo dice que son coplanarias, y dos rectas paralelas también lo son. Es una comprobación de diez segundos que cierra el razonamiento del apartado a).