Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Dados los puntos

A(1,0,0)

B(0,0,1)

P(1,-1,1)

, y la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x-y-2 = 0 \\ z = 0\end{cases}

a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta

r

cuya distancia al punto

P

es de

3

unidades.

b) [0,5 puntos] Calcula el área del triángulo

ABP

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (-1,-1,0)\sim(1,1,0), \ A_{0}(2,0,0) \;\Rightarrow\; Q(t) = (2+t,\,t,\,0)\;}

\boxed{\;\bigl|\vec{PQ}\bigr|^{2} = 2\,(t+1)^{2}+1 = 9 \;\Longrightarrow\; (t+1)^{2} = 4\;}

\boxed{\;\text{a) } t = 1 \Rightarrow Q_{1}(3,1,0); \qquad t = -3 \Rightarrow Q_{2}(-1,-3,0)\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{AB}\times\vec{AP} = (1,1,1), \quad \text{Área} = \frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87\ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se parametriza $r$ (director = producto vectorial de los normales de sus dos planos), se impone $|\vec{PQ}| = 3$ y sale una ecuación de segundo grado en el parámetro. Trabaja siempre con la distancia al cuadrado para no arrastrar raíces.
b) Área del triángulo $=\dfrac{1}{2}\bigl|\vec{AB}\times\vec{AP}\bigr|$ .

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales de los dos planos son

\vec{n_{1}} = (1,-1,0)

\vec{n_{2}} = (0,0,1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = (-1,\, -1,\, 0) \;\sim\; (1,\, 1,\, 0)

Un punto de $r$ . Con

y = 0

\;x = 2

\;z = 0

, luego

A_{0}(2,0,0)

.

(Comprobación: $2-0-2 = 0$ $\checkmark$ y $z=0$ $\checkmark$ )

Punto genérico.

Q(t) = (2+t,\; t,\; 0)

a) La condición de distancia.

\vec{PQ} = Q-P = (2+t-1,\; t+1,\; 0-1) = (t+1,\; t+1,\; -1)

\bigl|\vec{PQ}\bigr|^{2} = (t+1)^{2}+(t+1)^{2}+1 = 2\,(t+1)^{2}+1

Imponiendo

\bigl|\vec{PQ}\bigr| = 3

, es decir

\bigl|\vec{PQ}\bigr|^{2} = 9

2\,(t+1)^{2}+1 = 9 \;\Longrightarrow\; (t+1)^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; t+1 = \pm2

t = 1 \qquad \text{o} \qquad t = -3

Q_{1} = (3,\; 1,\; 0) \qquad Q_{2} = (-1,\; -3,\; 0)

Comprobación.

\;\vec{PQ_{1}} = (2,2,-1)

, con

|\vec{PQ_{1}}| = \sqrt{4+4+1} = 3

\;\checkmark

\;\vec{PQ_{2}} = (-2,-2,-1)

, con

|\vec{PQ_{2}}| = \sqrt{4+4+1} = 3

\;\checkmark

(Ambos están en $r$ : $\;3-1-2 = 0$ y $-1+3-2 = 0$ , con $z=0$ $\checkmark$ )

b) El área del triángulo $ABP$ .

\vec{AB} = B-A = (-1,\, 0,\, 1) \qquad \vec{AP} = P-A = (0,\, -1,\, 1)

\vec{AB}\times\vec{AP} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(1)-(1)(-1) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-1)(1)-(1)(0)\bigr] = 1 \qquad \vec{k}: (-1)(-1)-(0)(0) = 1

\vec{AB}\times\vec{AP} = (1,\, 1,\, 1) \;\Longrightarrow\; \bigl|\vec{AB}\times\vec{AP}\bigr| = \sqrt3

\text{Área} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Impón la condición sobre la distancia al cuadrado: $|\vec{PQ}|^{2} = 9$ . Así evitas la raíz y la ecuación queda de segundo grado limpia.

Hay dos soluciones, una a cada lado del pie de la perpendicular. Si solo te sale una, revisa el signo: $(t+1)^{2} = 4$ da $t+1 = 2$ y $t+1 = -2$ .

El área del triángulo lleva el $\frac12$ : $\bigl|\vec{AB}\times\vec{AP}\bigr|$ es el área del paralelogramo. Olvidarlo es el fallo más repetido de este apartado.