Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Dada la recta

r

definida por

\frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = -z+3

y la recta

s

definida por

s \equiv \begin{cases} x = 1 \\ 2y-z = -2\end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$ .

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r\colon \vec{u} = (3,2,-1), \ A(1,-1,3); \qquad s\colon \vec{v} = (0,1,2), \ B(1,0,2)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} = \vec{u}\times\vec{OA} = (5,-10,-5)\sim(1,-2,-1)\;}

\boxed{\;\pi_{1}\colon x-2y-z = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{n'} = \vec{v}\times\vec{u} = (-5,6,-3) \;\Longrightarrow\; \pi_{2}\colon 5x-6y+3z-11 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados son "plano definido por un punto y dos direcciones": el normal es el producto vectorial de esas direcciones.

a) Punto: el origen $O$ . Direcciones: $\vec{u}$ (director de $r$ ) y $\vec{OA}$ , con $A\in r$ .
b) Punto: $B\in s$ . Direcciones: $\vec{v}$ (director de $s$ ) y $\vec{u}$ (para ser paralelo a $r$ ).

Cuidado con el tercer miembro de $r$ :

-z+3 = \dfrac{z-3}{-1}

, así que la tercera componente del director es

-1

, no

1

Desarrollo

Datos de $r$ . De

\;\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z-3}{-1}

\vec{u} = (3,\, 2,\, -1) \qquad A(1,\,-1,\,3)\in r

Datos de $s$ . Sus normales son

\vec{n_{1}} = (1,0,0)

\vec{n_{2}} = (0,2,-1)

\vec{v} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right| = (0,\, 1,\, 2)

Un punto: con

y = 0

\;x = 1

z = 2

, luego

B(1,\,0,\,2)

.

a) El plano por el origen que contiene a $r$ . Direcciones

\vec{u} = (3,2,-1)

\vec{OA} = (1,-1,3)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{OA} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3\end{array}\right|

\vec{i}: (2)(3)-(-1)(-1) = 5 \qquad \vec{j}: -\bigl[(3)(3)-(-1)(1)\bigr] = -10 \qquad \vec{k}: (3)(-1)-(2)(1) = -5

\vec{n} = (5,\, -10,\, -5) \;\sim\; (1,\, -2,\, -1)

Como pasa por el origen, el término independiente es

0

\pi_{1}\colon\; x-2y-z = 0

Comprobación:

\;A(1,-1,3)

\;1+2-3 = 0

\;\checkmark

(y el origen, obviamente).

b) El plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ . Direcciones

\vec{v} = (0,1,2)

\vec{u} = (3,2,-1)

\vec{n'} = \vec{v}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(-1)-(2)(2) = -5 \qquad \vec{j}: -\bigl[(0)(-1)-(2)(3)\bigr] = 6 \qquad \vec{k}: (0)(2)-(1)(3) = -3

\vec{n'} = (-5,\, 6,\, -3)

Con el punto

B(1,0,2)

-5\,(x-1)+6\,(y-0)-3\,(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; -5x+6y-3z+11 = 0

\pi_{2}\colon\; 5x-6y+3z-11 = 0

Comprobaciones.

B(1,0,2): \ 5-0+6-11 = 0 \;\checkmark

A(1,-1,3): \ 5+6+9-11 = 9 \neq 0 \;\checkmark

(Este segundo cálculo es importante: confirma que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado al leer $\;\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y+1}{2} = -z+3$ : el último miembro es $\dfrac{z-3}{-1}$ , así que $u_{3} = -1$ . Escribir $(3,2,1)$ estropea los dos apartados.

"Plano por el origen" simplifica el final: la ecuación queda $ax+by+cz = 0$ , sin término independiente. Aprovéchalo en lugar de sustituir el punto.

En b), comprueba que un punto de $r$ no cumple la ecuación del plano. Si la cumpliera, $r$ estaría contenida en él, y "paralela" ya no sería del todo cierto.