Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2025 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque con optatividad 3). Considera el plano

\pi \equiv x + y + z + 1 = 0

y los puntos

A(1,2,0)

B(3,1,0)

.

a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico del punto

A

con respecto al plano

\pi

.

b) [1 punto] Halla el plano que contiene a los puntos

A

B

y es perpendicular al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad M\left(-\tfrac{1}{3},\ \tfrac{2}{3},\ -\tfrac{4}{3}\right), \qquad A'\left(-\tfrac{5}{3},\ -\tfrac{2}{3},\ -\tfrac{8}{3}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \sigma \equiv x + 2y - 3z - 5 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el procedimiento estándar del simétrico respecto de un plano: recta perpendicular por

A

(con director el vector normal

\vec{n}

), corte con el plano para hallar el pie

M

, y

A' = 2M - A

porque

M

es el punto medio.

En b) hay que traducir "perpendicular a

\pi

": un plano es perpendicular a otro cuando contiene la dirección normal del otro. Así que el plano buscado tiene dos direcciones conocidas,

\overrightarrow{AB}

\vec{n}_{\pi}

, y pasa por

A

Desarrollo

El vector normal del plano es

\vec{n} = (1,1,1)

.

a) Simétrico de $A(1,2,0)$ .

Recta perpendicular a $\pi$ por $A$ :

s \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = t \end{cases}

Pie de la perpendicular: sustituimos en

\pi

(1+t) + (2+t) + t + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; 3t + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{4}{3}

M = \left(1 - \frac{4}{3},\ 2 - \frac{4}{3},\ -\frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ -\frac{4}{3}\right)

(Comprobación: $-\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 1 = -\frac{3}{3} + 1 = 0$ ✓.)

Simétrico: como

M

es el punto medio de

A

A'

, se tiene

A' = 2M - A

A' = \left(-\frac{2}{3} - 1,\ \frac{4}{3} - 2,\ -\frac{8}{3} - 0\right) = \left(-\frac{5}{3},\ -\frac{2}{3},\ -\frac{8}{3}\right)

(Comprobación: el punto medio de $A(1,2,0)$ y $A'$ es $\left(\frac{1 - 5/3}{2}, \frac{2 - 2/3}{2}, \frac{0 - 8/3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right) = M$ ✓.)

b) Plano por $A$ y $B$ perpendicular a $\pi$ .

Un plano

\sigma

es perpendicular a

\pi

si y solo si contiene la dirección

\vec{n} = (1,1,1)

. Como además debe contener

A

B

, sus direcciones son

\overrightarrow{AB} = B - A = (2,\ -1,\ 0) \qquad\text{y}\qquad \vec{n} = (1,\ 1,\ 1)

Su vector normal es el producto vectorial:

\vec{n}_{\sigma} = \overrightarrow{AB} \times \vec{n} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = (-1 - 0)\,\vec{i} - (2 - 0)\,\vec{j} + (2 + 1)\,\vec{k} = (-1,\ -2,\ 3)

Imponiendo que pase por

A(1,2,0)

-1(x-1) - 2(y-2) + 3(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; -x - 2y + 3z + 5 = 0

\sigma \equiv x + 2y - 3z - 5 = 0

Comprobaciones.

A(1,2,0)

1 + 4 - 0 - 5 = 0

✓.

B(3,1,0)

3 + 2 - 0 - 5 = 0

✓. Perpendicularidad:

\vec{n}_{\sigma}\cdot\vec{n} = 1 + 2 - 3 = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos planos son perpendiculares cuando sus vectores normales lo son, es decir, cuando $\vec{n}_{\sigma}\cdot\vec{n}_{\pi} = 0$ . Eso equivale a que $\sigma$ contenga la dirección $\vec{n}_{\pi}$ , que es como se usa aquí: $\vec{n}_{\pi}$ pasa a ser un vector director de $\sigma$ , no su normal. Confundir ambas cosas es el error de fondo de este ejercicio.

Con las fracciones del apartado a), la comprobación del punto medio es obligatoria: es muy fácil equivocarse en un $\frac{4}{3}$ y arrastrarlo.