Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos

P(-1,2,3)

Q(-2,1,0)

R(0,5,1)

S

.

a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto

S

.

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos

P

Q

R

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad S(1, 6, 4)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad s \equiv (x,y,z) = t\,(11, -5, -2) \;\Longleftrightarrow\; \frac{x}{11} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{-2}\;}

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Estrategia

La palabra que decide el apartado a) es consecutivos: el orden de los vértices es

P \to Q \to R \to S

, así que los lados son

PQ

QR

RS

SP

, y las diagonales son

PR

QS

. La condición de paralelogramo es entonces

\vec{PQ} = \vec{SR} \qquad \text{o, equivalentemente,} \qquad \vec{PS} = \vec{QR}

En b), "perpendicular al plano" significa que el vector director de la recta es el vector normal del plano. Así que basta calcular el producto vectorial de dos vectores del plano y escribir la recta con ese vector y el origen. Ni siquiera hace falta la ecuación del plano.

Desarrollo

a) El cuarto vértice. Usamos

\vec{PS} = \vec{QR}

, es decir,

S = P + \vec{QR}

\vec{QR} = R - Q = \bigl(0 - (-2),\; 5 - 1,\; 1 - 0\bigr) = (2, 4, 1)

S = P + \vec{QR} = (-1, 2, 3) + (2, 4, 1) = (1, 6, 4)

Comprobación. El otro par de lados también debe ser paralelo e igual:

\vec{PQ} = Q - P = (-1, -1, -3), \qquad \vec{SR} = R - S = (0-1,\; 5-6,\; 1-4) = (-1, -1, -3) \quad \checkmark

Y las diagonales se cortan en su punto medio:

\frac{P + R}{2} = \left(-\frac{1}{2},\; \frac{7}{2},\; 2\right), \qquad \frac{Q + S}{2} = \left(-\frac{1}{2},\; \frac{7}{2},\; 2\right) \quad \checkmark

b) Vector normal del plano $PQR$ .

\vec{PQ} = (-1, -1, -3), \qquad \vec{PR} = R - P = (1, 3, -2)

\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & -2 \end{array}\right|

= \bigl((-1)(-2) - (-3)(3)\bigr)\vec{i} - \bigl((-1)(-2) - (-3)(1)\bigr)\vec{j} + \bigl((-1)(3) - (-1)(1)\bigr)\vec{k}

= (2 + 9)\vec{i} - (2 + 3)\vec{j} + (-3 + 1)\vec{k} = (11, -5, -2)

Como

\vec{n} \neq \vec{0}

, los tres puntos no están alineados y determinan un plano.

Ecuación de la recta. Pasa por el origen

O(0,0,0)

y lleva la dirección

\vec{n}

s \equiv (x, y, z) = t\,(11, -5, -2), \qquad t \in \mathbb{R}

En forma continua:

s \equiv \frac{x}{11} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{-2}

(Si se quisiera además el plano, sería $11x - 5y - 2z + 27 = 0$ , imponiendo el paso por $P(-1,2,3)$ : $-11 - 10 - 6 + 27 = 0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Vértices consecutivos" fija el orden del recorrido, y de él depende la fórmula. La correcta aquí es $S = P + R - Q$ ; si por descuido escribes $S = Q + R - P$ obtienes $(-1, 4, -2)$ , el simétrico de $P$ respecto del punto medio de $QR$ : cierra un paralelogramo con diagonal $QR$ , pero no el $PQRS$ del enunciado. La comprobación de que las diagonales $PR$ y $QS$ tienen el mismo punto medio es la forma más rápida de confirmar que el cuarto vértice es el correcto.

En b) no calcules la ecuación del plano para luego "sacar" la normal: el producto vectorial ya es el vector director de la recta pedida. Escribir el plano es un paso intermedio innecesario que solo añade oportunidades de equivocarse.