Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Encuentra los puntos de la recta

r \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{2-y}{2} = z-3

cuya distancia al plano

\;\pi \equiv x-2y+2z = 1\;

vale cuatro unidades.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{1}: \quad A(1,2,3), \ \vec{u} = (4,-2,1)\;}

\boxed{\;Q(t) = (1+4t,\, 2-2t,\, 3+t); \qquad x-2y+2z-1 = 10t+2\;}

\boxed{\;\frac{\lvert 10t+2\rvert}{3} = 4 \;\Longrightarrow\; t = 1 \ \text{ o } \ t = -\tfrac75\;}

\boxed{\;P_{1} = (5,\,0,\,4), \qquad P_{2} = \left(-\tfrac{23}{5},\; \tfrac{24}{5},\; \tfrac85\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se toma el punto genérico

Q(t)

r

, se calcula

d(Q,\pi)

en función de

t

y se iguala a

4

. El valor absoluto da dos soluciones.

Atención al signo de la componente $y$ : en la ecuación continua aparece

\dfrac{2-y}{2}

, que es

\dfrac{y-2}{-2}

. Por tanto, la segunda componente del director es

\mathbf{-2}

, no

2

Desarrollo

Punto y director de $r$ . Reescribiendo la ecuación continua:

\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{1}

A(1,\,2,\,3), \qquad \vec{u} = (4,\, -2,\, 1)

El punto genérico.

Q(t) = \bigl(1+4t,\; 2-2t,\; 3+t\bigr)

La distancia al plano. Con

\vec{n} = (1,-2,2)

\lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{1+4+4} = 3

x-2y+2z-1 = (1+4t)-2\,(2-2t)+2\,(3+t)-1

= 1+4t-4+4t+6+2t-1 = 10t+2

d(Q,\pi) = \frac{\lvert 10t+2\rvert}{3}

Imponiendo que valga $4$ .

\frac{\lvert 10t+2\rvert}{3} = 4 \;\Longrightarrow\; \lvert 10t+2\rvert = 12

Dos casos:

10t+2 = 12 \;\Longrightarrow\; t = 1

10t+2 = -12 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{7}{5}

Los dos puntos.

t = 1: \quad P_{1} = (1+4,\; 2-2,\; 3+1) = (5,\, 0,\, 4)

t = -\frac75: \quad P_{2} = \left(1-\frac{28}{5},\; 2+\frac{14}{5},\; 3-\frac75\right) = \left(-\frac{23}{5},\; \frac{24}{5},\; \frac{8}{5}\right)

Comprobaciones.

P_{1}: \ \frac{\lvert 5-0+8-1\rvert}{3} = \frac{12}{3} = 4 \;\checkmark

P_{2}: \ \frac{\left\lvert-\frac{23}{5}-\frac{48}{5}+\frac{16}{5}-1\right\rvert}{3} = \frac{12}{3} = 4 \;\checkmark

(Los dos puntos están a cada lado del plano: uno da $+12$ y el otro $-12$ en el numerador.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con $\dfrac{2-y}{2}$ : es $\dfrac{y-2}{-2}$ , así que la componente $y$ del director es $\mathbf{-2}$ . Copiar $+2$ es el error que arruina todo el ejercicio.

Al quitar el valor absoluto hay dos casos, y ambos dan solución: los puntos están a cada lado del plano. Dar solo uno cuesta la mitad.

$\lVert(1,-2,2)\rVert = 3$ exacto: aprovecha que el denominador es entero para despejar cómodamente. Y comprueba los dos puntos sustituyendo en la fórmula de la distancia.