Ejercicio 4 (bloque con optatividad 2). Sean los puntos A(3,-1,1), B(1,3,-3) y C(-2,-2,1). a) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C. b) [1,5 puntos] Halla los puntos D pertenecientes al eje OZ para que el tetraedro de vértices A, B, C y D tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2025 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque con optatividad 2). Sean los puntos

A(3,-1,1)

B(1,3,-3)

C(-2,-2,1)

.

a) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices

A

B

C

.

b) [1,5 puntos] Halla los puntos

D

pertenecientes al eje

OZ

para que el tetraedro de vértices

A

B

C

D

tenga un volumen de

20

unidades cúbicas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad S_{ABC} = 15 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad D_{1}(0,0,5) \qquad\text{y}\qquad D_{2}\left(0,0,-\tfrac{65}{11}\right)\;}

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Estrategia

Los dos apartados se apoyan en el mismo cálculo. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}

, y ese mismo vector sirve después para el producto mixto del volumen: basta multiplicarlo escalarmente por

\overrightarrow{AD}

. Es decir, se calcula un producto vectorial y se reutiliza.

La otra idea es traducir "

D

pertenece al eje

OZ

" a coordenadas:

D(0,0,t)

, con una sola incógnita. Y como el volumen lleva valor absoluto, saldrán dos puntos.

Desarrollo

Vectores de partida.

\overrightarrow{AB} = B - A = (-2,\ 4,\ -4), \qquad \overrightarrow{AC} = C - A = (-5,\ -1,\ 0)

Producto vectorial.

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -4 \\ -5 & -1 & 0 \end{array}\right|

= \bigl(4\cdot 0 - (-4)(-1)\bigr)\vec{i} - \bigl((-2)\cdot 0 - (-4)(-5)\bigr)\vec{j} + \bigl((-2)(-1) - 4\cdot(-5)\bigr)\vec{k} = (-4,\ 20,\ 22)

a) Área del triángulo.

\bigl\lVert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \bigr\rVert = \sqrt{(-4)^{2} + 20^{2} + 22^{2}} = \sqrt{16 + 400 + 484} = \sqrt{900} = 30

S = \frac{1}{2}\cdot 30 = 15 \ \text{unidades cuadradas}

b) Los puntos del eje $OZ$ . Un punto genérico del eje

OZ

D(0,\,0,\,t)

, y

\overrightarrow{AD} = D - A = (-3,\ 1,\ t-1)

El volumen del tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto, que se calcula cómodamente como

\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr)\cdot\overrightarrow{AD}

\bigl[\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}\bigr] = (-4,\ 20,\ 22)\cdot(-3,\ 1,\ t-1) = 12 + 20 + 22(t-1) = 22t + 10

V = \frac{|22t + 10|}{6} = 20 \;\Longrightarrow\; |22t + 10| = 120

Dos casos:

22t + 10 = 120 \;\Longrightarrow\; t = 5 \qquad\qquad 22t + 10 = -120 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{130}{22} = -\frac{65}{11}

Luego los puntos son

D_{1}(0,\ 0,\ 5) \qquad\text{y}\qquad D_{2}\left(0,\ 0,\ -\frac{65}{11}\right)

Interpretación geométrica: son los dos puntos del eje

OZ

situados a la misma distancia (a un lado y a otro) del plano que contiene a

A

B

C

; esa altura vale

h = \frac{3V}{S} = \frac{3\cdot 20}{15} = 4

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reutiliza el producto vectorial del apartado a) en el b): el producto mixto es $\bigl(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr)\cdot\overrightarrow{AD}$ . Volver a montar un determinante $3\times 3$ con la $t$ dentro es más trabajo y más ocasiones de fallar.

Y da las dos soluciones. El valor absoluto del volumen siempre desdobla el problema: geométricamente, $D$ puede estar a un lado o al otro del plano $ABC$ .