Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2024 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque D). Considera la recta

r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{2} = 3 - z

y el punto

P(0,2,-4)

.

a) [1,25 puntos] Calcula el punto de

r

a menor distancia de

P

.

b) [1,25 puntos] Halla los puntos de

r

cuya distancia a

P

sea igual a

\sqrt{50}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad Q(1,\ 4,\ 2), \qquad d(P,r) = \sqrt{41} \approx 6{,}40\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad Q_{1}(-1,\ 2,\ 3) \qquad\text{y}\qquad Q_{2}(3,\ 6,\ 1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es leer bien la recta: el tercer miembro es

3-z

, que escrito en forma continua es

\dfrac{z-3}{-1}

. Así que el punto es

R(-1,2,3)

y el director

\vec{v} = (2,2,-1)

, con la tercera componente negativa. Ese signo es la trampa del enunciado.

Con la recta en paramétricas, los dos apartados se resuelven con la misma función de una variable:

\lVert\overrightarrow{PQ(t)}\rVert^{2} = 9t^{2} - 18t + 50

El apartado a) es su mínimo (o, equivalentemente, la condición

\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{v} = 0

) y el b) es una ecuación de segundo grado. Merece la pena calcular esa expresión una sola vez y usarla dos.

Desarrollo

Lectura de la recta. Reescribiendo el último miembro,

\frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{-1} \;\Longrightarrow\; R(-1,\,2,\,3) \in r, \quad \vec{v} = (2,\ 2,\ -1)

El punto genérico de

r

Q(t) = (-1+2t,\ 2+2t,\ 3-t)

y el vector que lo une con

P(0,2,-4)

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1+2t,\ 2t,\ 7-t)

a) El punto más cercano. Es el pie de la perpendicular, que se caracteriza por

\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{v} = 0

2(-1+2t) + 2(2t) - 1\cdot(7-t) = -2 + 4t + 4t - 7 + t = 9t - 9 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1

Q = (-1+2,\ 2+2,\ 3-1) = (1,\ 4,\ 2)

La distancia mínima, de paso:

\overrightarrow{PQ} = (1,\ 2,\ 6) \;\Longrightarrow\; d(P,r) = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41} \approx 6{,}40

b) Los puntos a distancia $\sqrt{50}$ . Calculamos el cuadrado de la distancia en función de

t

\lVert\overrightarrow{PQ}\rVert^{2} = (-1+2t)^{2} + (2t)^{2} + (7-t)^{2}

= \bigl(4t^{2} - 4t + 1\bigr) + 4t^{2} + \bigl(t^{2} - 14t + 49\bigr) = 9t^{2} - 18t + 50

Imponemos que valga

\bigl(\sqrt{50}\bigr)^{2} = 50

9t^{2} - 18t + 50 = 50 \;\Longrightarrow\; 9t^{2} - 18t = 0 \;\Longrightarrow\; 9t\,(t-2) = 0

t = 0 \qquad\text{o}\qquad t = 2

Q_{1} = (-1,\ 2,\ 3) \qquad\text{y}\qquad Q_{2} = (3,\ 6,\ 1)

Comprobaciones.

\lVert P - Q_{1}\rVert^{2} = 1^{2} + 0^{2} + 7^{2} = 50 \qquad \lVert P - Q_{2}\rVert^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 9+16+25 = 50

Coherencia con a): la parábola

9t^{2}-18t+50

tiene su vértice en

t=1

, con valor

41

, que es justo el cuadrado de la distancia mínima. Y como

50 > 41

, era de esperar que hubiera dos puntos a esa distancia, simétricos respecto del pie de la perpendicular (

t=0

t=2

están a la misma distancia de

t=1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado al leer la recta: $\;= 3 - z\;$ significa $\dfrac{z-3}{-1}$ , así que la tercera componente del director es $-1$ , no $+1$ . Con el signo cambiado todo el ejercicio se va al traste, y es el error más frecuente aquí.

Calcula $\lVert\overrightarrow{PQ(t)}\rVert^{2}$ una sola vez y úsala en los dos apartados: a) es su mínimo y b) su valor $50$ . Además, comparar $50$ con el mínimo $41$ te dice de antemano que habrá dos soluciones; si hubieran pedido distancia $\sqrt{30}$ , no habría ninguna, y eso también hay que saber justificarlo.