Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

6x - m\,y + 2z = 1

y la recta

r

dada por

\frac{x-1}{-3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{-1}

a) [1 punto] Calcula

m

en el caso en que la recta

r

es perpendicular al plano

\pi

.

b) [1,5 puntos] ¿Existe algún valor de

m

para el que la recta

r

esté contenida en el plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (-3,2,-1), \qquad \vec{n} = (6,-m,2)\;}

\boxed{\;\text{a) } r\perp\pi \iff \vec{u}\parallel\vec{n}: \ \frac{6}{-3} = \frac{-m}{2} = \frac{2}{-1} = -2 \;\Longrightarrow\; m = 4\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{u}\cdot\vec{n} = -2m-20 = 0 \Rightarrow m = -10; \quad P\in\pi \Rightarrow m = -1\;}

\boxed{\;\text{Incompatibles} \;\Longrightarrow\; \textbf{no existe tal } m\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se reduce a comparar el director de la recta

\vec{u}

con el normal del plano

\vec{n}

\vec{u} = (-3,\, 2,\, -1) \qquad \vec{n} = (6,\, -m,\, 2)

Perpendicular al plano $\iff$ $\vec{u}$ y $\vec{n}$ son paralelos (proporcionales).
Contenida en el plano $\iff$ $\vec{u}\perp\vec{n}$ (producto escalar nulo) y además un punto de $r$ pertenece a $\pi$ . Son dos condiciones: si dan valores distintos de $m$ , la respuesta es que no existe.

Desarrollo

Datos de la recta. Punto

P(1,-1,-2)

y director

\vec{u} = (-3,2,-1)

.

a) $r \perp \pi$ . El director debe ser proporcional al normal:

\frac{6}{-3} = \frac{-m}{2} = \frac{2}{-1}

De los extremos:

\;\dfrac{6}{-3} = -2

\dfrac{2}{-1} = -2

, compatibles. Por tanto

\frac{-m}{2} = -2 \;\Longrightarrow\; m = 4

\vec{n} = (6,\, -4,\, 2) = -2\,(-3,\, 2,\, -1) = -2\,\vec{u} \quad \checkmark

b) ¿ $r \subset \pi$ ? Deben cumplirse las dos condiciones a la vez.

Condición 1: el director es paralelo al plano ( $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ ).

(-3)(6) + (2)(-m) + (-1)(2) = -18 - 2m - 2 = -2m - 20 = 0 \;\Longrightarrow\; m = -10

Condición 2: el punto $P(1,-1,-2)$ está en $\pi$ .

6(1) - m(-1) + 2(-2) = 1 \;\Longrightarrow\; 6 + m - 4 = 1 \;\Longrightarrow\; m = -1

Comparación.

m = -10 \quad \text{frente a} \quad m = -1

Los dos valores son incompatibles: ningún

m

cumple las dos condiciones simultáneamente.

\textbf{No existe ningún valor de } m \text{ para el que } r \subset \pi

Interpretación. Con

m = -10

la recta es paralela al plano (pero no contenida: el punto

P

no le pertenece, ya que

6 - 10 - 4 = -8 \neq 1

). Con cualquier otro valor de

m

la recta corta al plano en un punto.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con la confusión más habitual: perpendicular al plano significa director paralelo al normal; contenida en el plano significa director perpendicular al normal. Son condiciones opuestas.

Para que una recta esté contenida en un plano no basta con $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ : eso solo dice que es paralela. Falta comprobar que un punto de la recta pertenece al plano.

Que la respuesta sea "no existe" es perfectamente válido en Selectividad. Lo que puntúa es plantear las dos condiciones y mostrar que llevan a valores distintos de $m$ .