Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Dada la recta

r

definida por

\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{1}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$ .

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$ .

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Resultado

\boxed{\;\vec u = (2,3,1), \quad A(1,-1,2)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec n = \vec u\times\vec{OA} = (7,-3,-5) \;\Longrightarrow\; \pi_{1}\colon 7x-3y-5z = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec n' = \vec u = (2,3,1) \;\Longrightarrow\; \pi_{2}\colon 2x+3y+z = 0\;}

\boxed{\;\text{Ambos pasan por } O: \text{ término independiente } = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados pasan por el origen, así que sus ecuaciones no tienen término independiente:

ax+by+cz = 0

. Solo cambia el normal.

a) Contiene a $r$ $\Rightarrow$ el plano tiene dos direcciones: $\vec u$ (director de $r$ ) y $\vec{OA}$ , con $A\in r$ . Normal $=\vec u\times\vec{OA}$ .
b) Perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ el normal es $\vec u$ .

Son las dos situaciones opuestas: en a) el normal es perpendicular a

\vec u

; en b) es

\vec u

Desarrollo

Datos de la recta.

\vec u = (2,\, 3,\, 1) \qquad A(1,\,-1,\,2)\in r

a) El plano por el origen que contiene a $r$ .

Como pasa por

O(0,0,0)

y por

A

, el vector

\vec{OA} = (1,-1,2)

es una dirección del plano; la otra es

\vec u

\vec n = \vec u\times\vec{OA} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right|

\vec i: (3)(2)-(1)(-1) = 7 \qquad \vec j: -\bigl[(2)(2)-(1)(1)\bigr] = -3 \qquad \vec k: (2)(-1)-(3)(1) = -5

\vec n = (7,\, -3,\, -5)

Como pasa por el origen, el término independiente es $0$ :

\pi_{1}\colon\; 7x-3y-5z = 0

Comprobaciones.

A(1,-1,2): \ 7+3-10 = 0 \;\checkmark

Otro punto de $r$ (con parámetro

1

(3,2,3)

\;21-6-15 = 0

\;\checkmark

\vec n\cdot\vec u = 14-9-5 = 0 \;\checkmark

b) El plano por el origen perpendicular a $r$ . Su normal es el director:

\vec n' = \vec u = (2,\, 3,\, 1)

\pi_{2}\colon\; 2x+3y+z = 0

Comprobación: el origen lo cumple

\;\checkmark

, y

A(1,-1,2)

no:

\;2-3+2 = 1 \neq 0

, así que la recta corta al plano (como debe ser, al ser perpendicular a él).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Plano por el origen": su ecuación es $ax+by+cz = 0$ , sin término independiente. No hace falta sustituir el punto.

Distingue las dos condiciones: contener a $r$ $\Rightarrow$ $\vec u$ es una dirección del plano (normal perpendicular a $\vec u$ ); ser perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ $\vec u$ es el normal.

En a), comprueba que $\vec n\cdot\vec u = 0$ y que un punto de $r$ cumple la ecuación: las dos cosas juntas garantizan que la recta está contenida.