Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas

r

s

dadas por

r \equiv \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 0\end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 2 \\ \phantom{x + {}} z = 2\end{cases}

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: R(0,1,0),\, \vec{u} = (1,0,0); \qquad s: S(2,0,2),\, \vec{v} = (1,-1,0)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} \parallel (0,0,1); \qquad p \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1\end{cases}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r,s) = \frac{\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}]\bigr|}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert} = \frac{2}{1} = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos rectas son sencillas de leer:

$r$ es paralela al eje $OX$ : recorre $y=1$ , $z=0$ .
$s$ vive en el plano $z=2$ y allí sigue la recta $x+y=2$ .

Están a alturas distintas (

z=0

z=2

) y con direcciones distintas: se cruzan.

La perpendicular común se construye como intersección de dos planos: el que contiene a

r

y a

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}

, y el que contiene a

s

y a

\vec{w}

.

La distancia sale de la fórmula habitual con el producto mixto — y aquí el resultado es geométricamente evidente de antemano.

Desarrollo

Elementos de $r$ .

R(0,\, 1,\, 0), \qquad \vec{u} = (2,\, 0,\, 0) \;\parallel\; (1,\, 0,\, 0)

Elementos de $s$ . Los normales son

\vec{n}_{1} = (1,1,0)

\vec{n}_{2} = (0,0,1)

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = (1,\, -1,\, 0)

Un punto: con

x=2

queda

y=0

, y

z=2

S(2,\, 0,\, 2) \in s

Dirección de la perpendicular común.

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & \phantom{-}0 & 0 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right| = (0,\, 0,\, -1) \;\parallel\; (0,\, 0,\, 1)

(No es sorprendente: las dos rectas son horizontales —viven en planos $z$ constante—, así que la perpendicular a ambas es vertical.)

a) Los dos planos.

Plano que contiene a $r$ y a $\vec{w}$ : su normal es

\vec{u}\times\vec{w} = (1,0,0)\times(0,0,1) = (0,\, -1,\, 0)

Pasando por

R(0,1,0)

-1\,(y - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 1

Plano que contiene a $s$ y a $\vec{w}$ : su normal es

\vec{v}\times\vec{w} = (1,-1,0)\times(0,0,1) = (-1,\, -1,\, 0)

Pasando por

S(2,0,2)

-1\,(x-2) - 1\,(y - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y = 2

La perpendicular común.

p \equiv \begin{cases} y = 1 \\ x + y = 2\end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x = 1 \\ y = 1\end{cases}

es decir, la recta vertical

p \equiv (1,\, 1,\, \lambda), \qquad \lambda\in\mathbb{R}

Comprobación. Corta a

r

(1,1,0)

(que está en

r

con

t=\tfrac12

) y a

s

(1,1,2)

(que cumple

1+1=2

z=2

)

\checkmark

. Y su dirección

(0,0,1)

es perpendicular a

\vec{u}

y a

\vec{v}

\checkmark

b) Distancia.

\vec{RS} = S - R = (2,\, -1,\, 2)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2\end{array}\right| = 1\cdot\bigl(-1\cdot 2 - (-1)\cdot 0\bigr) = -2

\bigl\lVert\vec{u}\times\vec{v}\bigr\rVert = \lVert(0,0,-1)\rVert = 1

d(r,s) = \frac{|-2|}{1} = 2 \ \text{unidades}

(Coherente con la geometría: los dos puntos de corte de la perpendicular común son $(1,1,0)$ y $(1,1,2)$ , separados exactamente $2$ unidades. Y es lógico, porque una recta está en el plano $z=0$ y la otra en $z=2$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de calcular, visualiza: $r$ está en el plano $z=0$ y $s$ en el plano $z=2$ , ambas horizontales. Eso anticipa que la perpendicular común será vertical y que la distancia será $2$ . Tener la respuesta en la cabeza antes de operar es la mejor red de seguridad.

La perpendicular común se construye como intersección de dos planos, no como "una recta con dirección $\vec{u}\times\vec{v}$ ": esa dirección la tienen infinitas rectas, y solo una corta a las dos.

Comprueba al final los puntos de corte con cada recta: si la perpendicular común no corta a alguna de ellas, algo ha fallado. Aquí son $(1,1,0)$ y $(1,1,2)$ , y su distancia coincide con la del apartado b).