Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(2,0,1)

B(-1,1,2)

C(2,2,1)

D(3,1,0)

.

a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $B$ , $C$ y $D$ .

b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de $A$ respecto del plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{BC} = (3,1,-1), \ \vec{BD} = (4,0,-2) \;\Longrightarrow\; \vec n = (-2,2,-4)\sim(1,-1,2)\;}

\boxed{\;\pi\colon x-y+2z-2 = 0\;}

\boxed{\;R(s) = (2+s,-s,1+2s) \text{ en } \pi: \ 6s+2 = 0 \Rightarrow s = -\tfrac13, \ M\left(\tfrac53,\tfrac13,\tfrac13\right)\;}

\boxed{\;A' = 2M-A = \left(\tfrac43,\; \tfrac23,\; -\tfrac13\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Plano por tres puntos: se toman dos vectores desde uno de ellos ( $\vec{BC}$ y $\vec{BD}$ ) y el normal es su producto vectorial.
b) Receta del simétrico respecto de un plano:

1. recta por

A

perpendicular a

\pi

(director

=\vec n

),
2. corte con

\pi

\to

pie

M

,
3.

A' = 2M-A

Desarrollo

a) El plano por $B$ , $C$ y $D$ .

\vec{BC} = C-B = (3,\; 1,\; -1) \qquad \vec{BD} = D-B = (4,\; 0,\; -2)

\vec n = \vec{BC}\times\vec{BD} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right|

\vec i: (1)(-2)-(-1)(0) = -2 \qquad \vec j: -\bigl[(3)(-2)-(-1)(4)\bigr] = 2 \qquad \vec k: (3)(0)-(1)(4) = -4

\vec n = (-2,\, 2,\, -4) \;\sim\; (1,\, -1,\, 2)

Con el punto

B(-1,1,2)

1\,(x+1)-1\,(y-1)+2\,(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x+1-y+1+2z-4 = 0

\pi\colon\; x-y+2z-2 = 0

Comprobaciones.

C(2,2,1): \ 2-2+2-2 = 0 \;\checkmark \qquad D(3,1,0): \ 3-1+0-2 = 0 \;\checkmark

Y $A$ no está en $\pi$ :

\;2-0+2-2 = 2 \neq 0

\;\checkmark

(si lo estuviera, el simétrico sería él mismo).

b) El simétrico de $A(2,0,1)$ .

La recta perpendicular a $\pi$ por $A$ (director

\vec n = (1,-1,2)

R(s) = (2+s,\; -s,\; 1+2s)

El corte con $\pi$ :

(2+s)-(-s)+2\,(1+2s)-2 = 2+s+s+2+4s-2 = 6s+2 = 0

s = -\frac13 \;\Longrightarrow\; M = \left(2-\frac13,\; \frac13,\; 1-\frac23\right) = \left(\frac53,\; \frac13,\; \frac13\right)

Comprobación (

M\in\pi

\;\frac53-\frac13+\frac23-2 = \frac{5-1+2-6}{3} = 0

\;\checkmark

El simétrico.

A' = 2M-A = \left(\frac{10}{3}-2,\; \frac23-0,\; \frac23-1\right) = \left(\frac43,\; \frac23,\; -\frac13\right)

Comprobación. Punto medio de

A(2,0,1)

A'\left(\frac43,\frac23,-\frac13\right)

\left(\frac{2+\tfrac43}{2},\; \frac{0+\tfrac23}{2},\; \frac{1-\tfrac13}{2}\right) = \left(\frac53,\; \frac13,\; \frac13\right) = M \;\checkmark

Y $\vec{AA'} = \left(-\frac23,\frac23,-\frac43\right) = -\frac23\,(1,-1,2)$ : paralelo al normal

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el simétrico respecto de un plano, el director de la perpendicular es el normal $\vec n$ . No lo confundas con el simétrico respecto de una recta, donde hace falta un plano auxiliar.

Simplifica el normal $(-2,2,-4)$ a $(1,-1,2)$ antes de operar: los números se mantienen pequeños en todo el problema.

Cierra con dos comprobaciones: que $M$ es el punto medio de $A$ y $A'$ , y que $\vec{AA'}$ es proporcional a $\vec n$ . Si las dos salen, el resultado es correcto.